1. Комплексное число, действительная и мнимая части, равенство комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел. Поле комплексных чисел, формула обращения ненулевого комп. Числа.

Комплексное число отличается от действительного тем, что у него имеется помимо действительной еще и мнимая часть. . Такие числа равны если равны их действительные и мнимые части. Сложение: то есть складываются действительная с действительной, а мнимая с мнимою. Умножение происходит аналогично простому раскрытию скобок: Полем комплексных чисел С называется поле содержащее R в качестве подполя в котором уравнение. имеет корень.

Формула обращения комплексного числа в тригонометрическую форму:

2. Сопряжение, его геометрический смысл, свойства. Аргумент и модуль компл. числа. Тригонометрическая и показательная формы записи компл. чисел.

Число называется комплексно сопряженным с . Отображение называется сопряжением. Геометрически это отражение относительно действительной оси. Модулем называют квадратный корень из нормы( ) комплексного числа . Аргументом комплексного числа называют угол между вектором комплексного числа и осью действительных чисел. Тригонометрическая форма. Показательная:

3. Извлечение корней из компл. чисел. Решение квадратных уравнений над полем С. Основная теорема алгебры.

Нам дано уравнение: где z – неизвестная. Запишем его в показательной форме. Где т.е. Подставляя вместо значения 0,1,2… n-1 Если то корни уравнения:

Решение квадратного уравнения имеет такой же алгоритм, как и для действительных чисел, за тем исключением, что здесь корни есть всегда. Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

4. Пополнение поля компл. Чисел бесконечно удалённой точкой.

Если дано подмножество М и оно лежит внутри круглого комплексного поля с радиусом R, то внешность этого круга является окрестностью бесконечно удаленной точки. Бесконечно удаленная точка позволяет проводить следующие операции. Поле комплексных чисел пополненное бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. Графически она изображается сферой Римана, где бесконечно удаленные точки являются северным и южным полюсами этой сферы.

5. Функции компл. Переменного. Предел и непрерывность. Области на компл. Плоскости (ограниченные, открытые, замкнутые, связные, односвязные, многосвязные). Граница области.

Функцию комплексного переменного можно записать в виде где действительная часть, мнимая часть. Пусть определена в окрестности точки , кроме может быть самой Предел функции При равен А принадлежащему С, если для любого действительного числа найдется число такое, что для всех точек z из проколотой окрестности, т.е. для точек с условием , выполняется неравенство .

Как и для действительной переменной, функция комплексной переменной непрерывна в точке , если она определена в окрестности этой точки и .

При определении предела функции или последовательности важную роль играет понятие окрестности точки . Во-первых, определим "стан­дартную" окрестность - круг без границы радиуса с центром в точке . Он задается неравенством . В общем, окрест­ностью точки z₀ называется любое открытое множество комплексных чисел, содержащее точку z₀. При этом подмножество называет­ся открытым, если вместе с каждой точкой множество G содержит и круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке. Подмножество называется замкнутым, если дополнение открыто, т. е. если для любой точки найдется число р > 0 такое, что круг не пересекается с D.

Область D называется связной, если для любых ее точек z₁ и z₂ найдется непрерывный путь L, целиком лежащий в этой области и соединяющий точки z₁ и z₂. Более жесткое требование - односвязность области, тот случай когда граница области одна непрерывная кусочно гладкая кривая. Примером связной, но не односвязной области является кольцо.

Многосвязная область это область, в которой существуют замкнутые кривые, не стягиваемые в пределах этой области в точку.

Граница области - совокупность всех граничных точек. Граничная точка множества, точка, в любой окрестности которой находятся как точки, принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. В случае открытых множеств, т. е. множеств, каждая точка которых обладает окрестностью, содержащейся в этом множестве, Граничная точка не принадлежит самому множеству.