Матан

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, I семестр

О.В.Никольская, С. Г. Танкеев

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Словарь

Мы будем изучать дифференциальное исчисление функций нескольких (чаще всего двух) переменных в сравнении с дифференциальным исчислением функций

jx; y соответственно.

jПри вычислении @f@x(x;y) следует рассматривать

j y как константу. Аналогично при вычислении

j @f(x;y) следует рассматривать x как

@y

j константу. Например,

j @x@xy = yxy 1; @x@yy = xy ln x.

jТеорема. Если частные производные

jнепрерывны, то функция дифференцируема.

1.2.Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые

jэкстремума нет, а есть седло.

1.3.Дифференцирование функции, заданной неявно

Предположим, что переменные (x; y) связаны соотношением f(x; y) = 0, где f – дифференцируемая функция. В хороших случаях уравнение f(x; y) = 0 задает некоторую кривую на плоскости. Отдельные участки этой кривой могут быть графиками некоторых функций y = y(x). В этом случае говорят, что y(x) – неявная функция от x.

Очевидно,

0 = d0 = df(x; y) = @f@xdx + @f@y dy;

поэтому

@f

y0(x) = dxdy = @f@x :

@y

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной функции f(x), если F 0(x) = f(x).

Теорема. Если F (x) – первообразная функции f(x), то любая другая первообразная функции f(x) имеет вид (x) = F (x) + C, где C – некоторая константа.

Доказательство. Положим '(x) = (x) F (x). Имеем: '0(x) = [ (x) F (x)]0 =0(x) F 0(x) = f(x) f(x) = 0. По теореме Лагранжа для '(x) на отрезке [a; x] имеем : '(x) '(a) = '0(c)(x a) = 0 и, следовательно, '(x) = '(a) = const. Теорема доказана.

Семейство F (x) + C всех первообразных функции f(x) называется неопределен-

R

ным интегралом от f(x) и обозначается через f(x)dx.

Например, графически R xdx = x22 + C – семейство парабол, полученных из параболы y = x22 сдвигами вдоль вертикальной оси на константы C.

2.2. Таблица интегралов

R

1)sin xdx = cos x + C;

R

2)cos xdx = sin x + C;

3)R cos12 x dx = tg x + C;

4)R sin12 x dx = ctg x + C;

8)1+1x2 dx = arctg x + C;

9)R a2+1x2 dx = a1 arctg xa + C;

10)R x1 dx = ln jxj + C;R

12)R axdx = lnaxa + C;

13)R exdx = ex + C.

2.3. Свойства неопределенных интегралов

1) R f(x)dx 0 = f(x);

R

2)d f(x)dx = f(x)dx;

3)R df(x) = R f0(x)dx = f(x) + C;

RR

5) ( f(x))dx = f(x)dx.

2.4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле.

ZZ

udv = uv vdu:

Доказательство. Имеем: d(uv) = (uv)0dx = (u0v + uv0)dx = vu0dx + uv0dx = vdu +

ZZ

udv = uv vdu + C:

RR

Осталось заметить, что vdu + C = vdu (равенство двух семейств первообразных). Теорема доказана.

2.5. Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Если x =

'(t), то

Z Z

f('(t))'0(t)dt = F ('(t)) + C = F (x) + C = f(x)dx

Доказательство. Воспользуемся равенствами (F ('(t)) + C)0 = F 0('(t))'0(t) = f('(t))'0(t). Теорема доказана.

вносить под знак дифференциала надо такой множитель, который при этом не слишком усложняется.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1. Функция f(x) = , где p(x) и q(x) – многочлены и q(x) не равен тождественно нулю, называется рациональной функцией. Если deg p(x) < deg q(x), то дробь называется правильной.

Например, дробь x3 7x+4 правильная, потому что deg(x3 7x + 4) = 3

x(x5+1)

< deg x(x5 + 1) = 6.

Теорема. Любая рациональная функция однозначно записывается в виде суммы

Чтобы получить это разложение, разделим x4 2x3 + x + 7 на x2 + 2x + 5 с остатком: x4 2x3 + x + 7 j x2 + 2x + 5

j x2 4x + 3

j

j

3.2. Простейшие дроби I-IV типов:

I. (xAa) .

II. (x Aa)n , где n 2 – целое число.

III. Ax+B , где p2 4q < 0.

x2+px+q

IV. 2Ax+B n , где p2 4q < 0 и n 2 – целое число.

(x +px+q)

3.3. Теорема. Любая правильная рациональная дробь однозначно разлагается в сумму простейших дробей.

Например,

где неизвестные коэффициенты A1; : : : ; B2; C2 находятся из системы линейных уравнений. Чтобы получить эту систему, надо привести правую часть разложения к общему знаменателю, а затем приравнять коэффициенты при 1; x; x2; : : : в числителях дробей слева и справа.

Вопрос об интегрировании рациональной дроби сводится к интегрированию многочленов (элементарно) и простейших дробей.

3.3. Интегрирование простейших дробей:

Интегрирование простейших дробей IV типа производится аналогично (см. любой учебник по математическому анализу).

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

4.1. Пусть R(sin x; cos x) – рациональная функция от переменных sin x и cos x. Примерами таких функций являются

Рассмотрим интеграл R R(sin x; cos x)dx. Положим t = tg x2 (универсальная тригонометрическая подстановка). Тогда

В итоге

– интеграл от рациональной функции переменной t. После взятия этого интеграла следует подставить t = tg x2 .

Пример.