s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

де Afi і - 0 - коефіцієнти спонтанного випромінювання Ейнштейна і

електрона, як осцилятора, відповідно. Згідно класичній електродинаміці середня енергія випромінювання гармонічного осцилятора, що коливається з частотою , визначається за формулою

де с - швидкість світла, p e 2a - друга похідна по часу від диполь-

ного моменту, а і а - частота і амплітуда коливань осцилятора відповідно. За час dt енергія осцилятора зменшується на величинуw=<E>dt. Тому енергія w, що випромінюється осцилятором, зв’язана з середньою енергією співвідношенням:

-dw/dt = <E> (13.17)

Після підстановки в (13.17) <E> із (13.16) і квадрату амплітуди а2 із виразу для енергії осцилятора w= m0a2 2/2 остаточно отримаємо:

Тут 0 - коефіцієнт затухання коливань осцилятора, обернено пропорційний середньому часу життя або кількості переходів за одиницю часу

Кількість переходів за одиницю часу визначає коефіцієнт випромінювання Ейнштейна, який, згідно (13.19), для гармонічного осцилятора

Комбінуючи (13.6), (13.15) та (13.20), отримаємо вираз для сили осцилятора атомної системи:

Сили осциляторів залежать від природи переходів. Вони наближаються до 1 для дозволених переходів, але малі 10-5 для заборонених пе-

реходів. Знаючи f if системи, можна знайти її дисперсійну залежність

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

де N - концентрація осциляторів у системі. Тому сили осциляторів дуже часто використовуються для характеристики оптичних властивостей різноманітних систем.

13.4. Поглинання світла

рис.13.2. Виберемо вздовж осі x такий тонкий шар товщиною dx,

що в ньому можна знехтувати зміною кількості атомів у стані 1 (тобто N1 в інтервалі від x до x+dx не змінюється). Коли можна знехтувати спонтанним випромінюванням (Z1,2S<< ZR2,1), то зменшення кількості квантів при взаємодії випромінювання з шаром речовини товщиною dx = c·dt визначається за допомогою співвідношення :

-d(N1ћ 1,2) = ћ 1,2(Z1,2А – Z2,1R) dx/c .

Підставимо в цей вираз значення Z із (13.1 - 13.3) і помножимо його ліву і праву частини на с/4

де d ( 1,2 N1c4 ) dI - зміна інтенсивності світлового потоку після проходження шару речовини товщиною dx, а ( )c 4 I(x) -

світловий потік у точці з координатою х. Інтегруванням (13.23) отримаємо закон Бугера

де I0 світловий потік у точці з координатою x = 0, а ( )[см-1] – лінійний коефіцієнт ослаблення інтенсивності світла після проходження ним шляху довжиною x у речовині

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

Експериментально визначають площу під спектральною лінією поглинання, із якої за допомогою (13.25) можна знайти коефіцієнт Ейнштейна

або силу осцилятора системи, використовуючи для цього (13.22). Аналіз (13.25) показує, що є два випадки: малих і великих збу-

джень. При малих збудженнях, коли N2/N1 exp{-ћ 1,2/kВT} < 1, то Т > 0, > 0 і відбувається ослаблення інтенсивності світла при проходженні його у речовині.

При великих рівнях збудження - великих ( ), коли N2 > N1, порушується термодинамічна рівновага й виникає стан інверсної населеності. Цей випадок умовно називається випадком від’ємних температур, бо стан (N2/N1) > 1 має місце тільки при Т < 0. При Т < 0 коефіцієнт поглинання світла стає негативним ( < 0) і замість вбирання відбувається підсилення світла

Явище підсилення світла в речовині, що знаходиться в стані інверсної населеності, знайшло широке застосування при побудові лазерів (роз-

діл 13.7).

13.5. Інтенсивність спектральних ліній

тобто враховуючи, що Zn1,nR < Zn1,nS, запишемо:

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

ший і має скінчену „напівширину”, яка визначається інтервалом частот (або =2 ), на якому висота контуру досягає значення половини максимальної його висоти (рис.13.4). Напівширина характеризує ступінь немонохроматичності спектральної лінії. Її визначають в одиницях кругової частоти - δω[с-1], частоти – δν[Гц], довжини хвилі

– δλ[нм] або хвильового числа – δ(1/λ)= δν/c[см-1].

Неузгодженість розрахунку з експериментом означає, що в теоретичній його моделі були використані спрощення. Дійсно, розгляда-

лось, що атом випромінює світло з частотою 0 E2 E1 , що від-

повідає квантовим переходам між стаціонарними рівнями Е1 і Е2, у яких електрон може знаходитись нескінчено довго. Але спонтанний перехід порушує стаціонарність, бо необхідно враховувати радіаційне затухання – передачу енергії внаслідок взаємодії зарядженої частинки, наприклад, електрона з власним випромінюванням, поле якого створює силу Лоренца, що діє на осцилюючий електрон. Енергетичні рівні стають квазістаціонарними, бо на них електрон перебуває скінчений час , який називають часом життя електрона на цьому рівні. Точніше середнім часом життя у квазістаціонарному стані називають час , на протязі якого ймовірність перебування системи в ньому зменшується у е разів.

Згідно квантової фізики радіаційне затухання, яке притаманне всім системам, що випромінюють, виникає внаслідок взаємодії атомної системи з нульовими коливаннями електромагнітного поля. Розгляд механізму цієї взаємодії виходить за межі курсу атомної фізики і розглядається у спеціальних розділах квантової механіки. Ми підійдемо по іншому до розгляду радіаційного затухання. Спочатку нагадаємо, що будь-який осцилятор спонтанно випромінює затухаючі хвилі (див. підрозділ 13.3), тобто він випромінює скінчений у часі „цуг” електромагнітних хвиль. Скінчений „цуг” хвиль не може бути монохроматичним. Він може бути представлений хвильовим пакетом, котрий складається із набору монохроматичних хвиль з різними частотами. Приклад хвильового пакету з плоских хвиль де Бройля розглядався у розділі 6.2, де було показано, що частотний інтервал пакету хвиль і час життя зв’язані співвідношенням (6.16): E h або2 . Воно вказує, що зменшення часу життя супроводжується відповідним розширенням квазістаціонарного енергетичного рівня на

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

Крім радіаційного затухання коливальна система має й інші канали дисипації енергії, які викликають затухання коливань й розширення контуру спектральних ліній. Випромінювання також залежить від швидкості руху його джерела, що також впливає на . Отже, розширення контуру спектральних ліній ізольованої квантової системи залежить від таких явищ у випромінюючій системі: квантового розширення енергетичних рівнів, між якими відбуваються спонтанні переходи, ефекту Допплера, взаємодії збуджених атомів з сусідніми атомами тощо.

Класичне радіаційне затухання. Розглянемо контур спект-

ральної лінії, яку випромінює класичний гармонічний осцилятор з частотою і коефіцієнтом затухання коливань 0. Згідно формули (13.18) зменшення енергії осцилятора за час dt визначається за формулою dw/w = - 0dt, яке після інтегрування має вигляд w = w0 exp{-0t}. Оскільки w a2, то амплітуда його коливань рівна:

a = a0 exp{- 0t/2} . (13.30)

Амплітуду затухаючих коливань запишемо у вигляді інтеграла Фур’є від гармонічних коливань з різними частотами

Нехай осцилятор починає коливатись в момент часу t 0, тоді

F(t) = a0exp{- 0t/2}·exp{i 0t} при t 0 . (13.32)

Після підстановки (13.32) у формулу для амплітуди (13.31), отримаємо

Вираз (13.34) описує контур спектральної лінії гармонічного осцилятора, який називається контуром Лоренца. Його напівширина знаходиться із умови I /I0 = 1/2:

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

Вона визначається коефіцієнтом затухання 0, який характеризує дисипацію енергії коливальної системи й обернено пропорційний середньому часу життя:

Отже, цей розгляд показав, що будь-які процеси дисипації енергії коливальної системи призводять до затухання її коливань або середнього часу життя системи у квазістаціонарному стані, тобто завжди має місце нерівність:

Підстановкою виразу (13.19) для 0 у (13.34) можна оцінити коефіцієнт затухання 0 або ширину контуру спектральної лінії гармонічного осцилятора

Величина називається природною шириною (напівшириною) спектральної лінії в класичній електродинаміці (або природною шириною лінії класичного осцилятора із зарядом е і ма-

сою m0). Підстановка е та m0 електрона дає 0,44 -2. Для види-

мого світла з -5 см = 1,76 108 с-1 або 1,17 10-12 см. Ек-

спериментальні ширини ліній більші за ті, яку дає формула (13.38).

Квантове розширення енергетичних рівнів. Квантовий фо-

рмалізм включає затухання випромінювання так повно, як і класична теорія. Інтенсивність спонтанних переходів описується коефіцієнтом Ейнштейна А12 – ймовірністю спонтанних переходів (13.6) і (13.16), яка визначається матричними елементами оператора збурення. За допомогою А1,2 запишемо зменшення кількості збуджених станів у дворівневій системі:

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

де, як і в (13.36), А1,2 обернено пропорційно - середньому часу життя електрона у збудженому стані

Згадаємо, що згідно співвідношення невизначеності Гейзенберга

E t ( ) t h

, (13.43)

2

де t - середній час життя атома у збудженому стані. Комбінуючи

(13.42) і (13.43), отримаємо:

Отже, чим більше коефіцієнт спонтанного переходу Ейнштейна А1.3, тим менше час життя електрона в збудженому стані, і тим більша ширина спектральних рівнів й тим більша напівширина контуру спектральної лінії. Скориставшись для А1.3

реального терму виразом (13.21), отримаємо:

Тут f1,2 - cила осцилятора, а множник 3 виникає, бо на відміну від класичного гармонічного осцилятора, реальні атоми випромінюють

світло у всіх напрямках, тому 0 f fi 3.

Повна ширина контуру спектральної лінії визначається роз-

ширенням як верхнього, так і нижнього рівнів, тому повна ширина буде визначатись сумою коефіцієнтів спонтанного випромінювання Ейнштейна

При спонтанних переходах, дозволених правилами відбору, електрони на рівнях мають середній час життя 10-8 - 10-10 с, а на метастабільних, переходи з яких заборонені, - 10-6 - 10-4 c.

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

Вплив ефекту Доплера. Збуджені атоми А* це рухливі джере-

де v - швидкість збуджених атомів, а - кут між напрямком спостереження та швидкістю, як це показано на рис.12.6.

Якщо джерелом світла є атоми з ізотропним просторовим розподілом векторів швидкості v , то ефект Доплера призводить до симетричного розширення спектральної лінії. Таке розширення називається

доплерівським розширенням спектральної лінії.

У випадку хаотичного теплового руху атомів та молекул імовірність

де R – універсальна газова стала, T – температура, M – молярна маса, vx – швидкість атома чи молекули в напрямку осі x , яка збігаєть-

ся з напрямом руху від джерела до приладу.

Після підстановки виразів для vx та dvx в (1.11), знайдемо, що

Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

звичайно буде пропорційна до кількості частинок з такою складовою швидкості vx , що частота їх випромінювання приходиться якраз на цей інтервал частот. Але кількість таких частинок буде також пропорційна dP (1.11). Таким чином, розподіл інтенсивності в спектральній лінії, розширеної внаслідок повздовжнього ефекту Доплера, визначається виразом

Звідки випливає, що спектральна лінія має гаусівську форму.

Визначимо ширину лінії з умови I 1 Imax :

2

Звідки

0 0 2ln 2RT . (13.54) c M

Отже ширина доплерівського контуру

Або, враховуючи, що v0 c , одержимо

0

Ефект Доплера може іноді значно розширює контур спектра-

льної лінії. Допплерівське розширення спектральних ліній знайшло практичне застосування для експериментального вимірювання швидкості атомів і молекул в газах, плазмі газового розряду, тощо або для вимірювання швидкості руху об’єктів, що випромінюють, наприклад, в астрофізиці та радіолокації.