s5_atomfiz_exam_nah_book
.pdf
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці |
|
|
|||||
Таблиця 8.1. Кутова залежність хвильової функції електрона в |
|||||||
|
|
|
атомі Н. |
|
|
||
|
Ym |
|
Ym 2 |
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
sin ei |
sin2 |
|
|
|
||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
cos |
cos2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
sin e i |
sin2 |
|
|
|
||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
±2 |
sin2 e i2 |
sin4 |
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
±1 |
sin cos |
|
sin |
2 |
|
|
6 |
e i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
cos2 |
|
|
|||
|
3cos2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2 2 |
|
|
|||
Наведемо приклади атомних орбіталей. Користуючись принципом |
|||||||
суперпозиції, замість комплексних хвильових функцій сконструюємо їх |
|||||||
лінійні комбінації, які є дійсними функціями |
|
|
|||||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
193 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
|
|
|
Y m |
|
1 |
|
Y m Y m ; |
|
|
Y m |
|
1 |
|
|
Y m Y m . (8.28) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
Підставимо в (8.28) значення функцій |
Y m (8.15**). Тоді |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y m |
C |
m P m eim e im |
|
C |
m P m (cos ) cos(| m | ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Y m |
|
C m Pm (cos ) eim e im |
C m Pm (cos ) sin(| m | ) |
|||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
лінійні комбінації хвильових функцій - це дійсні функції, якими зручно користуватися.
Скориставшись таблицею 8.1, наведемо приклади кутових залежностей атомних орбіталей для s, p і d станів:
1. s - стан; Y m Y00 Const; s- орбіталь сферично симетрична;
2. p - стан; Y |
m Y 1 |
sin exp{ im }; лінійні комбінації дають 3 фу- |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
=C sin sin y/r |
нкції: Y1 |
=C sin cos x/r рx-орбіталь ; |
Y1 |
|
|||
рy-орбіталь; Y10 C cos z/r рz-орбіталь, індекси яких вказують,
що кутові залежності орбіталей збігаються з кутовими залежностями у формулах перетворення декартових координат у сферичні:
x / r sin cos ; |
y / r sin sin ; |
z / r cos . |
3. d – стан;
Ym2 2 sin2 e i2 ; Ym2 1 sin cos e i ; Ym20 3cos2 ;
лінійні комбінації дають 5 d - атомних орбіталей, назви яких зв'я- зані, як і для р – орбіталей, з формулами перетворення декартових координат на сферичні. Формули для них наведені у таблиці 8.2.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
194 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
|
Таблиця 8.2. Формули для d – орбіталей |
dx2-y2 |
sin2 cos2 =sin2 cos2 - sin2 sin2 = (x2-y2)·(r -2) |
dxy |
sin2 sin2 =2sin sin sin cos =xy·2(r -2) |
dxz |
sin cos cos = xz·(r -2) |
dyz |
sin cos sin = yz·(r -2) |
dz2 |
3(cos2 - 1)= z2·(r -2) |
На рис.8.1 схематично наведено просторовий розподіл атомних орбіталей, з якого видно, що кутовий розподіл електронних хмар анізотроп-
Y21 sin cos cos
Y00 Const
Y21 sin2 sin 2
Y11 sin cos
dz2 = 3, 4, 5,..., 2, 0
Y20 3 cos2 1
Y 1 |
sin sin |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
sin cos sin |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y10 cos
dx2y2 = 3, 4, 5,..., 2, -2
Y21 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 sin2
Рис.8.1. Поверхні, що обмежують s-, p- i d- орбіталі. Знаки визначаються знаками хвильових функцій.
ний. Існують напрямки, вздовж яких, головним чином, направлений кутовий її розподіл.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
195 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
8.5. Фізичний зміст квантових чисел m та
Запишемо вираз для кінетичної енергії електрона в сферичних координатах
|
|
|
m0 |
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lr |
L , |
, |
(8.29) |
|||||||
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
2m0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 dr 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lr |
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.30) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 d |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
d 2 |
|
|
|
|
||||||||
L |
|
m r |
|
|
|
m r |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(8.31) |
|||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||
Оператор кінетичної енергії має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
r, , |
|
|
|
r |
|
|
|
, . |
|
|
(8.32)3 |
||||||||||||||||||
|
2m |
|
2m |
2m r2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порівнюючи вираз для кінетичної енергії (8.29) з виразом для її оператора (8.32), можемо встановити вигляд оператора кутового моменту кількості руху
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
2 |
|
|
||||
L |
|
|
|
|
|
|
(sin |
|
) |
|
|
|
|
|
|
. |
(8.33) |
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
||||||||
Його власні функції знаходяться із рівняння: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 L2 |
|
|
|
|
(8.34) |
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L2 . |
|
|
(8.34*) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||
Кутова частина рівняння Шредінґера (8.16) має подібний до (8.34*) вигляд
, Y m ( , ) ( 1)Y m ( , ) 0
Порівнюючи (8.16) і (8.34*), бачимо, що вони тотожні тоді, коли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 2 ( 1) і |
|
Y m ( , ) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
L , |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
T |
|
L |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
||||||||
|
|
2m0 |
|
|
|
|
|
2m0 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|||||||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
196 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
Тому можна дійти до висновку, що квадрат моменту кількості руху електрона в полі центральних сил визначається квантовим числом
L2 2 ( 1) ,
де квантове число набуває значення = 0, 1, 2, 3, 4,.......
В спектроскопії стаціонарні стани руху з різними квантовими лами позначаються буквами, а саме:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
стан |
s |
p |
d |
f |
g |
(8.35)
чис-
У s-стані з = 0 момент кількості руху дорівнює нулю і (L =0 = 0).
Можна також довести вираз для оператора проекції моменту кількості руху на вісь z
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
L |
i |
. |
|
|
|
(8.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дійсно, L r |
p r i , а |
L |
i |
|
|
|
|
|
|
. Коли перейти від де- |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|||
картових до сферичних координат за допомогою співвідношень x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos , то отримаємо формулу (8.36).
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
r sin sin |
|
rsin cos |
|
y |
|
x |
|
, |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
z |
x |
y |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тому |
Lz |
i |
y |
|
|
x |
|
|
|
i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер запишемо основне рівняння квантової механіки для проекції моменту кількості руху
|
Lz Lz |
(8.37) |
||
або з урахуванням (8.36) |
|
|
|
|
i |
L |
(8.37*) |
||
|
||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
Рівняння (8.37*) має такий загальний розв’язок: |
|
|||
= C exp{im }, |
(8.38) |
|||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
197 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
який збігається з виглядом хвильової функції електрона від кута в
атомі водню m ( ) C exp im . Підставивши її в рівняння (8.37),
отримаємо Lz - проекцію кутового моменту на вісь z:
ћm = Lz . (8.39)
Отже згідно формулі (8.39) фізичний зміст квантового числа m поля-
гає в тому, що воно визначає проекцію моменту кількості руху електрона на напрямок осі z. Воно змінюється від m= до m=- ,
тобто може мати 2 +1 значень:
m = , -1, -2, -3, ..., 0, -1, -2, -3, ..., - .
Число m називається магнітним квантовим числом, бо коли ві-
доме число m, відоме значення Lz= mћ, що дозволяє за допомогою (4.21*) знайти значення проекції магнітного моменту
z |
|
g |
e |
|
Lz |
|
g |
e |
|
m , |
(8.40) |
|
|
|
|
||||||||
|
2 m 0 c |
|
|
2 m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 c |
|
|||
де g - гіромагнітний фактор рівний 1 для орбітального моменту кількості руху (gL = 1). Із співвідношення (8.40) можна записати
z gm 0 (8.41)
де |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
= 9,2741 10-21 |
ерг Гс-1 магнетон Бора. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 m 0 c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Магнітний момент визначається за формулою |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
2m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
jds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds . Його проекції мають вигляд: |
|||||||||||||||||||||||||||
r |
|
1 |
|
jr ds; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j ds; |
|
|
|
|
1 |
|
|
j ds |
|||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
ie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ie |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m0r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
де |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2m0rsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Оскільки =R(r) ( )Ф( ) |
і R(r) ( ) - дійсна функція, то із всіх проекцій лише |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0. Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ,l ,m |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
m 0 r sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
198 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
|
|
|
1 |
|
j |
( r 2 sin 2 )d |
e |
|||||
z |
|
|
||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
2m 0c |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e |
|
|
m |
|
|
n ,l,m |
|
2 2 r sin d |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2m 0c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m |
2 r 2 sin 2 |
|||||
|
|
|
||||
|
|
r sin |
||||
e |
m |
|
|
n ,l,m |
||
|
||||||
2m 0 c |
||||||
|
|
|
||||
|
|
n ,l,m |
|
2 d |
|
|
2 dV e m;
2m 0 c
z |
g |
e |
|
. |
|
|
|
|
|
||
L z |
|
2m |
0 c |
||
|
|||||
За допомогою хвильових функцій ми отримали відношення проекції магнітного моменту до механічного таке, як і раніше в теорії Бора.
===============================================
Таким чином, формула (8.41) вказує, що фізичний зміст квантового числа m полягає в тому, що воно визначає проекцію магнітного моменту на напрямок осі z.
8.6. Просторове квантування
Формула (8.39) є умовою просторового квантування. Просто-
рове квантування полягає в тому, що при вимірюванні проекції моменту кількості руху Lz ми обов’язково отримаємо значення, кратне ћ, і цих проекцій буде стільки, скільки значень має магнітне число m.
До вимірювання Lz хвильова функція будь-якого фізичного стану (r, , ) Rn (r) m ( ) m ( ) може бути представлена у вигляді
суперпозиції 2 +1 власних значень оператора проекції моменту кількості руху Lz, які розрізняються значеннями магнітного квантового числа m
|
|
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
|
до |
R (r) m ( ) |
|
|
|
exp{im } . |
(8.42) |
||
m |
|
||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
m C |
|
|
|
|
|
До вимірювання вектор L не має визначеної орієнтації у прос-
торі.
Після вимірювання, в процесі якого треба обов’язково прикласти силове поле вздовж осі z, фіксується певне значення проекції моменту кількості руху Lz. Ймовірність знайти цю проекцію визначається величиною |Cm|2. Тому, після вимірювання хвильова функція ( після) відрізняється від її значення ( до) до вимірювання ( до після).
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
199 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
У квантовій механіці строго доводиться, що оператори проекцій моментів кількості руху на вісях x, y і z Lx, Ly, Lz не комутують між собою, тобто виконуються такі співвідношення
Lx Ly |
Ly Lx |
i Lz |
|
|
|
|
|
Lx Lz |
Lz Lx |
i Ly |
(8.43) |
|
|
|
|
Ly Lz Lz Ly i Lx |
|
||
Ці співвідношення можна досить просто довести, якщо згадати, що оператори моменту кількості руху і його проекції мають такий вигляд
|
|
|
|
|
|
L [rp] [r, i ] |
|||||
|
|
|
|
|
|
L |
yp |
|
zp |
|
|
x |
|
z |
|
y |
|
Ly |
|
|
|
||
zpx |
xpz |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Lz xpy |
ypx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
px |
i |
|
; |
py |
i |
|
; |
pz |
i |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|||
Некомутативність, або виконання співвідношень (8.43),
означає, що одночасно не можна точно вимірювати хоча би дві проекції моменту кількості руху. Вимірювання проекції моменту
кількості руху уявно допускає, що для цього потрібно включити поле, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
щоб визначити напрям осі, на яку |
|
|
|
|
|
|
|
проектується момент кількості ру- |
|
|
|
|
|
|
|
ху. Наявність поля призводить до |
|
|
|
|
|
|
|
появи моменту сил, під дією якого |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
починається прецесія моменту кі- |
|
|
|
|
|
|
|
лькості руху навколо цієї осі. Век- |
|
|
|
|
|
|
|
тор моменту кількості руху починає |
|
|
|
|
|
|
|
обертатись навколо цієї осі і тому |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
дві інші проекції стають невизна- |
|
Рис.8.2. Прецесія моменту кіль- |
ченими (рис.8.2). Тому оператор |
||||||
моменту кількості руху не має вла- |
|||||||
|
кості руху. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
сних функцій і власних векторних |
|
значень. Некомутативність проекцій вектора L є наслідком того, |
|||||||
|
|
|
|
залежить від r і p , які не можна, згідно спів- |
|||
|
|
|
|
||||
що вектор L r |
, p |
||||||
відношення невизначеності, одночасно вимірювати, тому що
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
200 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
r p > h.
Разом з тим одночасно можна визначити L2 і Lz, бо вони комутують
|
|
|
|
0 |
|
|
L L2 |
L2 L |
|
||||
x |
2 |
2 |
x |
0 |
|
|
Ly L L Ly |
|
(8.44) |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
L L2 |
L2 L |
|
||||
z |
|
|
z |
|
|
|
Ці співвідношення можна також перевірити підставивши вирази для проекцій моменту кількості руху (8.43) і вираз для оператора квадрата моменту кількості руху (8.33) у (8.44).
Комутативність L2 і однієї із його проекцій Lx, y,z означає, що їх мо-
жна одночасно вимірювати, але вимірювання призведе до невизначеності двох інших проекцій моменту кількості руху. Покажемо це на такому прикладі. Нехай задано значення квантового числа . Воно визначить величину квадрата моменту кількості руху
L2 = ћ2 ( +1)
або його абсолютну величину при будь-якому >0
L |
1 Lz,max mmax . |
(8.45) |
Із співвідношення (8.45) видно, що вимірювання максимального значення проекції моменту кількості руху, наприклад Lz, призводить до того, що Lx і Ly стають невизначеними, бо
L2 L2x |
L2y |
L2z |
L2z . |
(8.46) |
Можливість вимірювати одночасно момент кількості руху і одну із його проекцій називається просторовим кванту-
ванням. Як видно, просторове квантування в квантовій механіці суттєво відрізняється від просторового квантування в моделі БораЗомерфельда тим, що Lz і L не повністю визначає орієнтацію моменту кількості руху у просторі.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
201 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
До вимірювання ми їх не знаємо. Після вимірювання ми знаємо ли- |
|||||||
|
z |
ше |L| і одну із його |
|||||
z |
2 ? |
протекцій |
Lx,y,z. |
На |
|||
схематичному рис. 8.3 |
|||||||
|
|
||||||
? |
? |
наведені, |
наприклад, |
||||
|
|
можливі |
випадки |
ви- |
|||
0 |
0 |
мірювання абсолютно- |
|||||
|
|
||||||
- ? |
- ? |
го |
значення моменту |
||||
кількості |
руху і |
його |
|||||
=1 |
= 2 |
||||||
m l = -1, 0, 1 |
-2 ? |
проекції |
для |
двох |
ви- |
||
падків для = 1 і = 2. |
|||||||
|
m1 = -2,-1, 0, 1, 2 |
||||||
Рис.8.3. Проекції кутового моменту кількос- |
Процесія вектора L під |
||||||
ті руху при =1 і =2. |
час вимірювання одні- |
||||||
|
|
єї з проекцій (рис.8.2) |
|||||
створює невизначеність для двох останніх його проекцій. |
|
|
|||||
8.7. Радіальна частина хвильової функції електрона атома водню
«Не обізнаний з математикою не входить у цей дім»
Напис над воротами академії Платона
Рівняння радіальної частини хвильової функції електрона в атомі водню має вигляд:
де згідно
k 2 ( r ) 2 m 0
2
|
r |
R(r) k 2 |
(r)R(r) |
|
|
R(r) 0 , |
(8.47) |
|||||||||||||
|
r2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( +1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
з |
|
(8.23) |
|
|
|
|
|
а |
|
згідно |
|
(8.10*) і (8.6) |
||||||||
|
|
|
|
e 2 Z |
|
|
1 d |
2 d |
|
|
||||||||||
|
E |
|
|
|
|
, |
а r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
, |
у якому частинні |
|
r |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
d r |
|
|
||||||
похідні від r замінені повними похідними, бо функція R(r) залежить від однієї змінної r. Тоді
|
|
R |
2 m |
0 |
|
E |
|
e 2 Z |
|
2 ( 1) |
R 0 , |
|
|
r |
|
|
|
|
|
(8.48) |
|||||||
2 |
|
r |
2 m 0 r 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де |
|
|
|
|
|
|
ћ2 ( + 1) = L2 , . |
|
|
|
|||
Спочатку проаналізуємо у формулі (8.48) вираз у дужках, |
|
||||||||||||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
202 |