s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 7. Рівняння Шредінгера

де А і В довільні сталі. Їх можна визначити з таких граничних умов:

1)в областях 1 і 2, де U1,3 , частинка існувати не може, бо не може мати нескінчену енергію, звідки 1,3 і А1,3 = В1,3 = 0;

2)умова неперервності хвильової функції дає

Проаналізуємо отримані результати.

По-перше, енергетичний спектр частинки всередині потенціальної ями дискретний;

По-друге, відсутній рівень із квантовим числом n = 0, бо це супе-

речить співвідношенню невизначеностей. Дійсно, якщо n = 0, то згідно (7.13), Е = 0 і рx = 0, а співвідношення невизначеності дає таке значення для x h px , що вимагає локалізації електрона у всьому просторі, а не в межах бар'єру;

По-третє, інтервал між дискретними рівнями енергії E залежить від ширини потенціальної ями та квантового числа n

У таблиці 7.1 наведені дані для Е при різних а.

Таблиця 7.1. Значення Е при різних а - ширина потенціальної ями

Глава 7. Рівняння Шредінгера

Експериментально виявити дискретні рівні енергії можливо лише тоді, коли 1,2 > kBT. Для Т = 300К і m0 = 10-27 г

Ці квантові властивості твердого тіла малих розмірів дійсно спостерігаються експериментально й називаються квантовим розмірним ефектом, який останнім часом знайшов застосування в наноелектроніці.

По-четверте, під час переходу з одного стаціонарного стану з

енергією Е1 в інший з енергією Е2 відбувається поглинання або випромінювання кванта енергії E2 E1.

7.2.2.Частинка в потенціальній ямі зі скінченними стінками

Увипадку потенціальної ями зі стінками скінченої висоти розв’язок задачі знаходиться так, як і для ями з нескінченими стінками.

Ця задача буде розв’язуватись на практичних заняттях. Результати розв’язку такі:

По-перше, частинки мають при Е > U0 неперервний спектр енергії, як і у вільної частинки.

По-друге, при Е < U0 спектр енергії частинки дискретний і для найглибших рівнів збігається з попереднім випадком ями з нескінченими стінками.

По-третє, не існує рівня енергії із квантовим числом n = 0, тому що це суперечить співвідношенню невизначеностей.

Глава 7. Рівняння Шредінгера

По-четверте, на відміну від попереднього випадку ями з нескінченими стінками для ями зі скінченими стінками хвильові функції не прямують до нуля на його стінках, а плавно (експоненціально) затухають у середині стінки ями, як це показано на схематичному рис.7.2.

Рис.7.2. Потенціальна яма зі скінченими стінками: а – хвильові функції для n = 1, 2, 3, b – модуль квадрата хвильової функції.

7.3. Гармонічний осцилятор

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора є парабола U(х) = x2/2, де - коефіцієнт квазіпружної сили (F= - U/ x=- x). Одновимірне рівняння Шредінґера для стаціонарних станів має такий вигляд:

де m0 – маса частинки. Пам’ятаючи, що в попередньому випадку частинки в потенціальній ямі ми отримали дискретний спектр енергії, можна очікувати, що й у цьому випадку матимемо також дискретний спектр енергій, хоча залежність від квантових чисел і параметрів осцилятора буде іншою. Хвильова функція між класичними точками повороту (точками на кривій U(x)) має вигляд осцилюючої функції, а зовні вона експоненціально затухає. Відповідність із класичним осцилятором спостерігається при U →∞.

Глава 7. Рівняння Шредінгера

де v - вібронне (коливальне) квантове число, котре пробігає значення v = 0, 1, 2, 3, 4,......, а 0 - власна частота гармонічного осцилятора

Нульову енергію осцилятора Ev 0 2 можна знайти, користуючись

Глава 7. Рівняння Шредінгера

мінімуму повної енергії гармонічного осцилятора dE/dx=0. Дійсно, xm4 24m0k , тоді Emin 2 2 m0 0 2 . Аналізуючи рис.7.3, на якому схематично зображені енергетичні рівні, хвильові функції і квадрати хвильових функцій для різних вібронних квантових чисел v, зробимо такі висновки:

дискретний спектр енергій гармонічного осцилятора лінійно залежить від вібронного (коливального) квантового числа v;

можливий стан із квантовим числом v = 0, енергія якого рівна

E0 0 2 ;

інтервал енергій між двома стаціонарними станами рівний 0 ;

імовірність знайти електрон у певному стані залежить від вібронного числа v. При малих значеннях квантового числа v квантовий осцилятор найбільш суттєво відрізняється від класичного. Найбільша густина ймовірності знайти електрон квантового осцилятора * знаходиться в точках, розташованих ближче до точки х = 0 (рис.7.3), тоді як для класичного осцилятора вона знаходиться в станах на кривій U(x), коли його кінетична енергія Т = 0 чим більше квантове число v, тим більша ймовірність знайти осцилятор в стані з нульовою кінетичною енергією, тобто знайти його в стані на кривій U(x);

треба також пам’ятати, що з усіх можливих переходів між стаціонарними станами спостерігаються ті, для яких виконується

таке правило відбору v .

На закінчення зауважимо, що гармонічний осцилятор дуже важливий фізичний об’єкт, бо згідно теореми про нормальні координати системи в нормальних координатах розглядаються як набір гармонічних осциляторів. За його допомогою вдається зрозуміти закони теплового випромінювання, сили Ван-дер-Ваальса, молекулярні сили, коливальні спектри молекул тощо.

7.4. Прозорість потенціального бар’єра (тунелювання)

Розглянемо для визначеності прямокутний одновимірний потенціальний бар’єр, зображений на рис.7.4. Нас буде цікавити випадок, коли Е < U0, тому що в протилежному випадку, коли Е набагато більше U0, частинка рухається у вільному від полів просторі, як класична частинка з неперервним спектром енергій.

Глава 7. Рівняння Шредінгера

Поділимо весь простір на три області 1, 2 і 3, як це показано на рис.7.4, і запишемо для цих трьох областей рівняння Шредінґера для стаціонарних станів

Довільну сталу А1 можна покласти рівній 1 (А1 = 1), а сталу В3 = 0, тому що в області 3 і хвиля 3 не відбувається, а лише розповсюджується вздовж осі x. Останні сталі визначимо з умов неперервності хвильових функцій:

==========================================================

Глава 7. Рівняння Шредінгера

Додаткову умову неперервності похідної хвильової функції можна довести, коли замість різкого розглянути плавний

===========================================================

Підставимо в (7.25) значення хвильових функцій (7.23 і 7.24)

Розв’язок системи рівнянь (7.25*) дозволяє знайти В1 і А3.

==========================================================

Дійсно, запишемо систему рівнянь (7.25*) з урахуванням (7.22):

Глава 7. Рівняння Шредінгера

і підставимо їх у перші два рівняння (7.25*). Тоді

Для випадків, коли a , вираз (7.25****) спрощується до

==========================================================

Вираз для квадрата модуля А3 має вигляд:

Знайдемо коефіцієнт прозорості, який визначається відношенням потоку частинок j3, що пройшли через бар’єр, до потоку падаючих частинок j1.

Доведемо квантомеханічний вираз для потоку частинок через хвильові функції. Для цього сконструюємо вираз, який збігається із законом збереження кількості частинок у нерелятивістській області енергій4

де - густина частинок, j - потік частинок. Густина частинок пропорційна густині ймовірності, тому | * | = . Запишемо рівняння Шредінґера для та * функцій та помножимо перше з них на *, а друге - на

4 Ми обмежуємось областю нерелятивістських енергій, бо рівняння Шредінґера нерелятивістське. Воно не інваріантне щодо перетворень Лоренца.

Глава 7. Рівняння Шредінгера

Різниця між правими та лівими частинами рівнянь (7.30) має вигляд:

де div( *- * )= * + 2 * - * - * 2 * - * .

Порівнявши (7.31) з (7.29), остаточно запишемо, що

Повернемося тепер до обчислення прозорості потенціального бар’єра. Для цього знайдемо J1 та J3.

Скориставшись виразами (7.34) і (7.35) для J1 і J3, знайдемо прозорість бар’єра

j

D 3 A3 A3 D0 exp{ 2 2*a},

j1

Глава 7. Рівняння Шредінгера

Таким чином, електрони (або інші частинки) можуть із певною ймовірністю (D 0) проникати крізь потенціальний бар’єр скінченої висоти U0. Це явище, що не має класичного аналога, називається тунелюванням або тунельним ефектом.

Експериментально тунельний ефект спостерігається для тонких потенціальних бар’єрів, коли 2а < 1. У таблиці 7.2 наведені коефіцієнти прозорості прямокутних бар'єрів різних товщин.

Таблиця 7.2. Прозорість прямокутного потенціального бар'єра при U0 - E = 5 eB і різних значення його ширини а.

З таблиці 7.2 видно, що для U0 - E = 5еВ, прозорість бар’єра має скінчені значення лише для а сумірних з атомними розмірами. При більших а, коли а > a0, то його прозорість прямує до нуля D 0.

Формулу для прозорості бар’єра можна узагальнити для бар’єра довільної форми, якщо на відстанях сумірних із довжиною хвилі де Бройля суттєво не змінюється швидкість електронів. У

цьому випадку бар’єр можна розбити на безліч прямокутних дуже тонких бар’єрів, як це показано на рис.7.6. За формулою (7.36) прозорість бар’єра товщиною x дорівнює

D(x) D0 exp{ (2/ )2m(U (x) E) x}.

Повний коефіцієнт прозорості бар’єра дорівнює добуткові парціальних коефіцієнтів прозорості

При малих значеннях хі сума в показнику експоненти переходить в інтеграл. Тому в загальному вигляді