s5_atomfiz_exam_nah_book
.pdfГлава 7. Рівняння Шредінгера
Кінетична енергія в сфери- |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
чних координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
, |
, д |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
2m |
r |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L2 |
|
1 |
|
|
L2 |
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повна енергія |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E H = T U |
|
|
|
|
U r,t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E T V |
|
U r ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2m |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U r,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Повна |
енергія |
в |
сферичних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2r, , |
U r, , ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E T V H = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
U r, , ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
r, , ,t |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
E T U |
r, , |
U |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U r, , ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Досить зручно в атомній фізиці використовувати атомні одиниці (а.о.), бо їх використання значно спрощує вигляд її рівнянь. Атомні одиниці наведені в таблиці 7.4.
Таблиця 7.4. Атомні одиниці
назва |
СГСЕ |
А.О. |
|
|
|
Маса |
M=9,8 10-28 г |
1 |
маса електрона |
|
|
Довжина |
a0=0,529217706 10-8 см |
1 |
радіус першої |
борів- |
|
|
|
|
ської орбіти |
|
|
Заряд |
e=4,803242 10-10 |
1 |
елементарний |
заряд |
|
|
|
|
(заряд електрона) |
||
Енергія |
2RH=27,2 eB |
1 |
RH – стала Рідберга |
||
швидкість |
с=2,99792 1010 см/с |
1 |
швидкість |
світла у |
|
|
|
|
вакуумі |
|
|
Стала |
=1,0545887 10-27 ерг |
1 |
Стала |
Планка, |
|
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
183 |
Глава 7. Рівняння Шредінгера
Планка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2 |
|
В атомних одиницях рівняння Шредінґера (7.4) і (7.7) мають |
|||||||||||||
вигляд: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
V r,t |
|||||||
|
t |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.43) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
E |
V |
r,t |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
7.7.Контрольні запитання та вправи
1.Висвітліть значення й особливості рівняння Шредінґера.
2.Які умови накладаються на рішення хвильового рівняння?
3.Особливості хвильового рівняння й хвильових функцій для стаціонарних станів.
4.Яке значення мають у квантовій механіці оператори фізичних величин, і як вони використовуються для обчислення власних значень фізичних величин?
5.Що означає ермітовість операторів фізичних величин?
6.Що означає некомутативність операторів фізичних величин?
7.Які особливості має енергетичний спектр стаціонарних станів частинок, що знаходяться в просторі, обмеженому потенціальними бар’єрами?
8.Яке значення й особливості має гармонічний осцилятор?
9.Покажіть, що розмірність | * | повинна бути см-3, для того щоб воно описувало густину ймовірності.
10.Покажіть, що якщо відомі два рішення хвильового рівняння 1(хt) і 2(xt), то їхня лінійна комбінація також є рішенням цього рівняння.
11.Покажіть, що px x xpx i .
12.У чому полягає відмінність статистичних закономірностей квантової механіки від статистичних закономірностей класичної фізики?
13.Які стани називаються виродженими?
14.У рівняння Шредінґера входить маса частинки, а її заряд не входить. Покажіть як впливає на результати рішення заряд.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
184 |
Глава 7. Рівняння Шредінгера
15.Оцініть, при якій товщині тонких металевих плівок при температурі 45,2К можна виявити дискретність енергетичного спектру електронів.
16.При яких кінетичних енергіях протонів можна досліджувати частинки розміром 10-13 см?
Тестові завдання
1.ЧИМ ВІДРІЗНЯЄТЬСЯ РІВНЯННЯ ШРЕДІНҐЕРА ВІД КЛАСИЧНОГО ХВИЛЬОВОГО РІВНЯННЯ?
1) нічим; 2) розв’язком рівнянь; 3) похідними по часу; 4) похідними по координаті.
2.ЯК ІНТЕРВАЛ МІЖ ДИСКРЕТНИМИ РІВНЯМИ ЧАСТИНКИ У НЕСКІНЧЕННІЙ ПОТЕНЦІАЛЬНІЙ ЯМІ ЗАЛЕЖИТЬ ВІД КВАНТОВОГО ЧИСЛА n?
1) ~ n; 2) ~ n2; 3) ~ 1/n; 4) ~ 1/n2.
3.ЧИ МОЖНА ВИЗНАЧИТИ КОЕФІЦІЕНТ ВІДБИВАННЯ (А) ТА КОЕФІЦІЕНТ ПРОПУСКАННЯ (В) ДЛЯ ПОТЕНЦІАЛЬНИХ БАР'ЄРІВ ЧЕРЕЗ ВІДНОШЕННЯ КВАДРАТІВ ВІДПОВІДНИХ АМПЛІТУД, ЯКЩО ЕНЕРГІЯ ЧАСТИНКИ БІЛЬШЕ ВИСОТИ БАР'ЄРА?
1) так; 2) ні.
4.ВІД ЯКИХ ПАРАМЕТРІВ ЗАЛЕЖИТЬ ПРОЗОРІСТЬ ПОТЕНЦІАЛЬНОГО БАР'ЄРУ?
1) енергії частинки; 2) заряду частинки; 3) маси частинки; 4) ширини бар'єру; 5) висоти бар'єру.
5.ЧАСТИНКА З ЕНЕРГІЄЮ Ek 20 eV ПРОЛІТАЄ НАД ПОТЕН-
ЦІАЛЬНИМ БАР’ЕРОМ ВИСОТОЮ U 15 eV . У СКІЛЬКИ РАЗІВ ЗМІНИТЬСЯ d ЧАСТИНКИ ПРИ ПЕРЕХОДІ ЧЕРЕЗ БАР'ЄР?
1) зросте у 2 рази; 2) зменшиться у 2 рази; 3) не зміниться.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
185 |
Глава 7. Рівняння Шредінгера
6. В ЯКИХ ВИПАДКАХ ПРОЯВЛЯЮТЬСЯ КВАНТОВО-РОЗМІРНІ ЕФЕКТИ В ОДНОМІРНІЙ ПОТЕНЦІАЛЬНІЙ ЯМІ ШИРИНОЮ ?
1) kBТ<∆Е; 2) λD> ; 3) λD ; 4) p· ~ ; |
5) =n· λD/2, де λD – |
довжина де Бройля, p – імпульс частинки. |
|
Література
1.Матвеев А.Н. Атомная физика. - М.: Высш. Шк.,1989, -489. ( главы
4, 5 и 6).
2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Атомная и ядерная физика.
Часть 1. М.: Наука, - 1986. -416с. (глава IV ).
3.Белый М.У., Охрименко Б.А. Атомная физика. Киев, «Вища шк.» . - 1984. -271с. ( §3.2...3.3)
4.Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Квантовая механика, -М.: Наука, -1979, -521с. ( §2...7).
5.Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник. 2-ге вид. доп. – Львів. ЛНУ імені Івана Франка, 2004, - 784 с. іл.
Додаткова література
1.Давыдов А.С., Квантовая механика, М.: Наука, 1973.
2.Овечко В.С., Шека Д.І., Физика атомов та атомних структур (від ласики до квантов): Навчальний посібик, К.: Кидавничополіграфічний центр «Київський университет», - 2006.
Задачі
1. Харченко Н. П., Прокопенко О. В., Карлаш Г. Ю. Атомна фізика в задачах. Академдрук, - 2007. – 336с. (розділи 3, 4 і 5).
Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике, М.: Высшая школа, 1991 2.Мин Чен, Задачи по физике с решениями, М.: ИЛ, - 1978.
3. Мультимедійна демонстрація Розрахунок коефіцієнтів відбивання та пропускання потоку частинок з певною енергією на границі ба- р'єра у вигляді прямокутної нескінченної сходинки.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
186 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
Глава 8. УЯВЛЕННЯ ПРО БУДОВУ АТОМА ВОДНЮ У КВАНТОВІЙ МЕХАНІЦІ
«Тим, хто не знає математики, важко осягти справжню, глибоку красу природи».
Р.Фейнман.
8.1. Схема розв’язку рівняння Шредінґера для атома водню. 8.2. Кутова частина рівняння Шредінґера. 8.3. Кутовий розподіл густини ймовірності знайти електрон в атомі водню. Електронна хмара. 8.4. Атомні орбіталі атому водню. 8.5. Фізичний зміст квантових чисел m та . 8.6. Просторове квантування. 8.7. Радіальна частина хвильової функції електрона атома водню. 8.8. Радіальний розподіл електронної хмари атома водню. 8.9. Квантові числа та їх фізичний зміст. 8.10. Правила відбору квантових чисел. 8.11. Висновки. 8.12. Контрольні запитання та вправи, тестові завдання. Література.
8.1. Схема розв’язку рівняння Шредінґера для атома водню
Атом водню складається із протона і електрона. Їх заряди |e| майже точкові порівняно з розмірами атома, тому що rелектр., rядра < rатома.. Досліди Резерфорда показали, що між електроном і ядром діють кулонівські сили. Потенціал сил їх точкових зарядів має вигляд
U (r) e2Z / r . |
(8.1) |
Маса ядра значно більша маси електрона (М > m0), тому в першому наближенні знехтуємо впливом скінченної маси ядра на рух електронів. Це дозволяє розглядати атом у системі координат, що зв’язана із центром атомного ядра. Скінчену масу ядра згодом можна буде враху-
вати, замінивши масу електрона m0 приведеною масою m |
m0 |
|
. |
1 m0 |
|
||
|
M |
||
Запишемо рівняння Шредінґера для стаціонарних станів атома водню
H E , |
(8.2) |
де H T U - оператор Гамільтона, що дорівнює
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
187 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
T U |
|
|
|
|
|
U(r) |
(8.3)1 |
|||||||
2m0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Ze |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E . |
(8.4) |
||||
|
2m |
|
r |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оскільки потенціал U(r) залежить лише від r, тобто симетричний відносно центру, то зручно перейти у (8.4) до сферичних координат:
|
2 |
|
r, , |
E |
|
||||
|
2m0 |
|
r, , |
|
|
|
|
|
Тут
Ze2
r, , . (8.5) r
|
|
r , , |
r |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(8.6) |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.7) |
|||
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||
, |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.8) |
||||||||
sin |
|
sin |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Підставивши (8.6…8.8) у (8.5), маємо
|
1 |
|
|
2m |
|
E |
Ze2 |
0 |
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
r |
r |
|
, |
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Помножимо ліву та праву частини рівняння (8.9) на r2 r2 r + , + r2 k2(r) = 0,
|
|
|
2m0 |
|
Ze |
2 |
|
|
де |
k2 |
(r) |
E |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
r |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8.9)
(8.10)
(8.10*)
1 T і V - оператори кінетичної і потенціальної енергій. Для сферичної системи
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
||
координат T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2m0 |
r, , |
|
2m0 |
|
r |
|
r2 |
|
|||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
188 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
Розв’яжемо рівняння (8.10) методом розділення змінних. Для цього виберемо функцію (r, , ) у вигляді добутку двох функцій
(r, , ) = R(r)Y( , ) . |
(8.11) |
Підставимо (8.11) у (8.10) і помножимо обидві частини цього рівняння на 1/R(r)Y(
r2 rR/R + r2 k2(r) + , Y/Y = 0 . |
(8.12) |
Рівняння (8.12) можна розділити на два рівняння, одне з яких залежить від r, а друге лише від і . Дійсно,
r2 |
r R |
r2k2 (r) |
(8.13) |
||
|
|
||||
|
R |
|
|||
|
|
, Y |
|
||
|
|
|
|
, |
(8.14) |
|
|
|
|
||
|
|
|
Y |
|
|
де - довільна стала розділення.
Проаналізуємо окремо кутову (8.13) й радіальну (8.14) частини рівняння Шредінґера.
8.2. Кутова частина рівняння Шредінґера
, Y ( , ) Y ( , ) 0. |
(8.14*) |
Рівняння (8.14) не залежить від U(r), тому воно справедливе для будь-
якого випадку кулонівського поля центральних сил.
Його розв’язок є в довідниках і підручниках, тому обмежимося лише аналізом розв’язку. Насамперед методом розділення змінних знайдемо частину розв’язку, яка залежить лише від кута . Для цього підста-
вимо в (8.14) функцію Y( , ) у вигляді добутку двох функцій |
( ) і Ф( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y ( , ) ( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
(8.15*) |
|||||
і помножимо ліву та праву частини (8.14*) на sin2 /ФY: |
|
|
||||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
s in |
2 |
|
|
|
2 |
|
sin 2 |
0 . (8.15) |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||||||
sin |
|
|
sin 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
Рівняння (8.15) можна розділити на два рівняння, кожне з яких буде залежати лише від однієї змінної: одне - від а друге - від
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
189 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
1 |
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(sin |
|
|
|
) ( |
|
|
) 0 |
(8.16) |
|||
|
|
|
|
sin2 |
|
|||||||||
sin |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 2 |
m2 , |
|
|
|
(8.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де m2 – стала розділення. Крім того у (8.16) і (8.17) частинні похідні можна замінити повними похідними, бо функції ( ) і ( ) залежать лише від однієї змінної і відповідно, а величина m може пробігати як позитивні, так і негативні значення.
Окремий розв’язок (8.17) має вигляд
( ) C exp im . |
(8.18) |
Його вигідно вибирати у такому вигляді ще й тому, що ця функція є власною функцією оператора проекції моменту кількості руху (8.37). Довільна стала С у (8.18) знаходиться за умови нормування
2 |
|
|
|
* d C2 2 1 |
(8.19) |
||
0 |
|
|
|
звідки |
|
|
|
C 1 |
|
, |
|
2 |
(8.20) |
||
а функція Ф( ) симетрична відносно осі z.
Хвильові функції повинні бути однозначними, неперервними та скінченними. За умови однозначності визначимо число m
( ) ( 2 ) |
(8.21) |
або exp{im } = exp{im( + 2 )} = exp{im }exp{im2 }, звідки число m може бути лише цілим числом:
m = 0; 1; 2; 3; 4; ... |
(8.22) |
Тепер проаналізуємо рівняння (8.16). Воно має скінченні, одноз-
начні й неперервні розв’язки лише за таких значень роздільного параметра , коли
= ( + 1) при |
= 0, 1, 2, 3, 4, ... |
(8.23) |
Розв’язок рівняння (8.16) має вигляд поліномів Лежандра
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
190 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
m ( ) Cm Pm (cos ), |
(8.24)2 |
де Cm - нормуючі множники, що залежать, як і функціональні члени
полінома Лежандра Pm (cos ) , від квантових чисел m і , де |
|
|m| . |
(8.25) |
Коли задано, число m набуває 2 +1 значень: m = ; ( -1); |
( -2); ( - |
3); ....0. |
|
Наведемо приклади перших членів полінома Лежандра |
|
00(сos ) = 1/2 |
|
01(сos ) = (3/2)1/2 сos
11(сos ) =(3/4)1/2 sin
02(cos ) =(5/8)1/2 (3cos2 - 1)
12(cos ) =(15/4)1/2 sin Cos
|
sin2 |
(8.26) |
22(cos ) = (15/16)1/2 |
Вони є розв’язком цього рівняння (8.16), бо підстановка (8.26) у (8.16) перетворює рівняння (8.16) на тотожність.
8.3.Кутовий розподіл густини ймовірності знайти електрон
ватомі водню. Електронна хмара.
Кутова залежність хвильової функції має вигляд
Y m ( , ) m ( ) |
m |
( ) Cm Pm (cos ) |
|
1 |
eim |
, |
(8.15**) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де = 0, 1, 2, 3, 4, ..., a |
|
|m| ; m = 0; 1; 2; 3;......; . |
|
|
||||||
Визначимо кутову залежність густини ймовірності знайти електрон в інтервалі кутів від до + d і від до + d
|
|
|
|
|
|
|
Y m*Y m |
|
C m2 (1/ 2 ) |
|
P m (cos ) |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8.27) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m ( , ) C |
m P m (cos ) C m (sin ) m d m (cos2 1) |
(d cos ) m ; |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
( 1) m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C m |
|
|
|
(2 1)( m ) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 ! |
|
2( m ) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
191 |
Глава 8. Уявлення про будову атомів в квантовій механіці
Вона разом з кутовими залежностями хвильової функції електрона в атомі водню наведена для s, p і d станів у таблиці 8.1.
Аналіз виразу (8.27) і таблиці 8.1 дозволяє дійти до висновків:
(1) густина ймовірності кутового розподілу електронів у полі центральних сил Y m*Y m не залежить від кута , тобто си-
метрична відносно осі z;
(2) густина ймовірності кутового розподілу електронів
Y m*Y m залежить від кута . Існує скінченна ймовірність
знайти електрон не тільки в площині z=0, але й при будь-яких кутах . Отже, розподіл електронів у атомі можна уявляти як електронну хмару з кутовим розподілом, що визначається через
Y m*Y m ;
(3)збільшення і m наближає кутовий розподіл електронів до площини Z = 0.
8.4.Атомні орбіталі атому водню
Одноелектронні хвильові функції Rn (r)Ym ( , ) називаються
атомними орбіталями. Для одноелектронного атома водню його атомні орбіталі збігаються з повними його хвильовими функціями. Однак, для багатоелектронних атомів хвильова функція більш складна. Принцип суперпозиції дозволяє за допомогою лінійної комбінації хвильових функцій атома водню, конструювати атомні орбіталі складних атомів. Особливе значення має кутовий розподіл електронної густини,
що визначається кутовою частиною хвильової функції |
Y m cos( ) |
або |
|
кутовою частиною атомних орбіталей. Вони визначають анізот-
ропію розподілу електронної густини, що, як буде пізніше показано, виявляється корисним для описання хімічного зв’язку. Зокрема, анізотро-
пія атомних орбіталей є причиною появи направлених хімічних зв’язків.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
192 |