s5_atomfiz_exam_nah_book
.pdfГлава 12. Атом гелію
Для моментів імпульсів електронів в атомі гелію має місце:
1)(L S) зв’язок;
2)(J J ) зв’язок;
3)нормальний зв’язок;
4)зв’язок Рассела-Саундерса.
Названий тип зв’язку моментів імпульсів електронів в атомі гелію має місце тому, що виконується наступне співвідношення між енергією спін-орбітальної взаємодії електрона Ec op і енергією взаємодії орбіталь-
них моментів електронів Eop op .
1) Ec op |
менше Eop op ; |
2) Ec op |
порядку Eop op ; 3) Ec op |
більше Eop op . |
2. ЩО ТАКЕ: А) ПАРАГЕЛІЙ; Б) ОРТОГЕЛІЙ?
Цей термін означає стан атома гелію, в якому:
1)спіни електронів паралельні;
2)спіни електронів антипаралельні;
3)проекції спінів електронів паралельні;
4)проекції спінів електронів антипаралельні.
Отже, термін означає стан атома гелію, в якому спінове квантове число дорівнює:
5) 0 ; 6) 1
2 ; 7) 1.
Атоми гелію, позначені терміном А (Б), мають спектр, який являє собою:
8)синглетну систему ліній;
9)триплетну систему ліній.
3.ЯКИМИ БУДУТЬ ТЕРМИ ДЛЯ АТОМА ГЕЛІЮ, ЯКЩО ЙОГО ЗБУДЖЕНА ЕЛЕКТРОННА КОНФІГУРАЦІЯ 1s3d ?
1) |
1S |
0 |
; 2) |
3S ; |
3) |
1D |
2 |
; 4) |
3D . |
|
|
|
! |
|
|
|
1,2,3 |
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
303 |
Глава 12. Атом гелію
4. НИЖЧЕ НАВЕДЕНІ ПОЗНАЧЕННЯ ГРУПИ СПЕКТРАЛЬНИХ ТЕРМІВ. ВИЗНАЧИТИ СЕРЕД НИХ: А) ТЕРМИ, ЯКІ ВІДПОВІДАЮТЬ РІЗНИМ СТАНАМ ПАРАГЕЛІЮ, Б) ТЕРМИ, ЯКІ ВІДПОВІДАЮТЬ РІЗНИМ СТАНАМ ОРТОГЕЛІЮ, В) ТЕРМ ОСНОВНОГО СТАНУ АТОМА ГЕЛІЮ.
Це терм (терми):
1) |
1S |
0 |
(1s1s) ; 2) |
3S (1s1s) ; 3) |
1S |
0 |
(1s2s) ; 4) |
3S (1s2s) ; |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||
5) |
1P (1s2 p) ; 6) |
3P (1s2 p) ; |
7) |
|
3P (1s2 p) ; |
8) |
3P (1s2 p) . |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
0 |
5. У ВІДПОВІДІ НАВЕДЕНО ДЕКІЛЬКА ГРУП СПЕКТРАЛЬНИХ ТЕРМІВ АТОМА ГЕЛІЮ. ВКАЖІТЬ У КОЖНІЙ З ЦИХ ГРУП ТЕРМ, ЯКИЙ МАЄ НАЙМЕНШУ ЕНЕРГІЮ.
Найменшу енергію має терм:
1) 1S0 (1s1s) ; 2) 1S0 (1s2s) ; 3) 3S1 (1s2s) .
Найменшу енергію в групі термів 3P0, 3P1, 3P2 має терм:
4) |
3P (1s2 p) ; 5) |
3P (1s2 p) ; 8) |
3P (1s2 p) . |
|
0 |
1 |
2 |
Найменшу енергію в групі термів 1S0 , 1P1 має терм:
9) |
1S |
0 |
(1s2s) ; 10) |
1P (1s2 p) . |
|
|
|
1 |
6. НИЖЧЕ НАВЕДЕНІ ПОЗНАЧЕННЯ ГРУПИ СПЕКТРАЛЬНИХ ТЕРМІВ АТОМУ ГЕЛІЮ. ВКАЖІТЬ СЕРЕД НИХ ТЕРМИ, З ЯКИХ ЗАБОРОНЕНІ ОПТИЧНІ ПЕРЕХОДИ В ОСНОВНИЙ СТАН ГЕЛІЮ ЗА ПРАВИЛОМ ВІДБОРУ ДЛЯ: А) ОРБІТАЛЬНОГО КВАНТОВОГО ЧИСЛА L , Б) СПІНОВОГО КВАНТОВОГО ЧИСЛА S , В) ВНУТРІШНЬОГО КВАНТОВОГО ЧИСЛА J .
Правило відбору, що розглядається, обумовлює заборону оптичного переходу до основного стану:
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
304 |
Глава 12. Атом гелію
1) 1D2 (1s2d) ; 2) 1S0 (1s2s) ; 3) 3S1 (1s2s) ;
4) |
1P (1s2 p) ; |
5) |
3P (1s2 p) ; 6) |
3P (1s2 p) ; |
|
1 |
|
2 |
1 |
7) |
3P (1s2 p) . |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Література
1.Матвеев А.Н. Атомная физика. Учеб. пособие для студентов вузов.-
М.: Высш. Шк. ,1989. – 489с. ( §41-43, 52).
2.Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика.: Учеб. Пособие. Часть 1. Атомная физика. М.: - Наука, Гл.ред. физ. Мат. лит. - 1986. –416с. (
§49).
3.Белый М.У., Охрименко Б.А. Атомная физика. - К.: Вища шк., Голов.
из-во, -1984. -271с. ( §5,6).
4.Шпольский Э.В. Атомная физика том 1 - М.: Из-во “Наука”, - 1974. – 575с. (§81-86).
5.Гайда Р.П. Атомна фізика, Львів.: -1965. – 356с. (§49).
Задачі
1.Харченко Н. П., Прокопенко О. В., Карлаш Г. Ю. Атомна фізика в задачах. Академдрук, - 2007. – 336с. (розділ 10, Атом гелію).
2.Мультимедійна демонстрація. Тонка структура та інтенсивність компонентів мультиплетів для ортогелію.
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
305 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
Глава 13. ІНТЕНСИВНІСТЬ ТА ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНИХ ЛІНІЙ
„Природа так про все піклується, що всюди ти знаходиш чому вчитись” Леонардо да Вінчі
13.1. Ймовірність переходів. 13.2. Золоте правило Фермі. 13.3. Сила осцилятора. 13.4. Поглинання світла. 13.5. Інтенсивність спектральних ліній. 13.6. Ширина спектральних ліній. 13.7. Принципи генерації електромагнітних коливань (лазери). 13.8. Висновки. 13.9. Контрольні запитання та вправи, тестові завдання. Література.
13.1. Ймовірність переходів
Розглянемо систему з двома енергетичними рівнями Е2 і Е1 (рис.13.1), на кожному із яких знаходиться N2 і N1 електронів. Їх енергетична ієрархія може бути якісно оцінена за правилами Хунда (Гунда), які розглядались раніше у 11-й главі. Значення Е2 і Е1 знаходять експериментально або із розрахунків, наприклад методом стаціонарної теорії збурень, яка застосовувалась у попередній главі при розгля-
ді рівнів атомів гелію. Між рів-
E2 |
|
|
|
|
|
|
N2 |
нями Е2 і Е1 можуть відбуватися |
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
три різновиди електронних пе- |
|||
|
|
|
|
реходів: 1) - вимушений перехід |
||||||
ZA |
12 ZR |
|
|
ZS |
|
|
|
|||
21 |
|
21 |
|
|
Е1 →E2 з поглинанням кванта |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ћ 21 = Е2 - E1; 2) - |
вимушений |
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
N1 |
перехід E2 → Е1 з |
випроміню- |
|
Рис.13.1. Система із 2-х рівнів. |
ванням кванта ћ 21; 3) - спон- |
|||||||||
танний перехід Е2 |
→E1 з випро- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мінюванням кванта ћ 21. Позначимо кількість таких переходів за
одиницю часу через ZA1,2, ZR2,1 і ZS2,1 відповідно. Вони |
зв’язані з кое- |
|
фіцієнтами Ейнштейна В1,2, В2,1, А,2,1: |
|
|
ZА1,2 |
= В1,2N1 ( ) |
(13.1) |
ZR2,1 |
= B2,1N2 ( ) |
(13.2) |
ZS2,1 |
= A2,1N2 , |
(13.3) |
де ( ) - спектральна густина випромінювання, віднесена до одиничного інтервалу частот [ерг·с/cм3]. Коефіцієнти Ейнштейна характеризують даний електронний перехід. Вони визначають імовірності переходів, хоча і відрізняються від безрозмірних математичних ймовірностей, бо A2,1 і В1,2 - імовірності переходів за одиницю часу і тому
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
306 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
мають розмірності [c-1] I [см-3 ерг-1 с-2] відповідно. Ці коефіцієнти зв’язані між собою, бо у стані рівноваги має місце співвідношення:
ZА1,2 = ZR2,1 + ZS2,1. (13.4)
Для встановлення зв’язку між коефіцієнтами Ейнштейна підставимо у (13.4) вирази (13.1), (13.2) і (13.3), розв’яжемо систему рівнянь відносно ( ) і порівняємо з формулою Планка для спектральної густини випромінювання абсолютно чорного тіла:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
1 |
|
B2,1 N 2 |
|
|
|
2 |
|
|
c exp 2,1 kBT 1 . |
|||||||||
( ) A2,1 B2,1 B1,2 N1 |
1 |
|
||||||||||||||
З урахуванням, що за Больцманом N1 N2 |
g1 |
g2 exp 1,2 |
kBT , |
|||||||||||||
остаточно отримаємо: |
|
B1,2 |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(13.5) |
|||||
|
|
B |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2,1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A2,1 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(13.6) |
||
|
B |
|
c3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де g2 і g1 - статистичні ваги (ступінь виродження) рівнів Е2 і Е1. Із співвідношення (13.6) видно, що інтенсивність спонтанних переходів пропорційна кубу частоти, тому при дуже низьких частотах основну роль гратимуть вимушені переходи.
13.2. Золоте правило Фермі
Імовірність вимушених переходів wіf із початково стану і до кінцевого стану f за одиницю часу залежить від інтенсивності світла, що його викликає. При не дуже великих інтенсивностях світла вона розглядається в квантовій механіці за допомогою нестаціонарної теорії збурень і визначається золотим правилом Фермі
ФЕРМІ ЕНРІКО (1901-1954)
Італійський фізик.
У 1922 закінчив одночасно Пізанський університет та Пізанську вищу нормальну школу. У 1923 працював у Геттінгенському університеті у М.Борна, у 1924 – у Лейденському університеті у П.Еренфеста, викладав у Римському та Флорентійському університетах; у 1926 став професором теоретичної фізики Римського університету. У 1939-1942 – професор Колумбійського університету, у 1942-1945 – професор Чикагського університету, з 1946 - професор Інституту ядерних досліджень у Чикаго. У 1944-1945 завідував
відділом Лос-Аламоської лабораторії.
Дослідження Фермі відносяться до областей квантової механіки, ядерної фізики, статистичної механіки, фізики високих енергій, астрофізики. У 1926 була опублікована його робота зі статистичної механіки частинок, які підкоряються принципу Па-
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
307 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
улі. Вона послужила фундаментом статистики Фермі – Дірака, яка пояснювала поведінку електронів у твердих тілах, а також багато явищ у різних розділах фізики – від ядерної фізики до астрофізики. У 1933-1934 Фермі створив кількісну теорію β- розпаду. У 1934 відкрив штучну радіоактивність елементів, які опромінюються нейтронами, висловив ідею одержання таким способом трансуранових елементів. У 1936 відкрив поглинання нейтронів. Усі ці роботи поклали початок розвитку нейтронної фізики.
Керував створенням першого ядерного реактора. 2 грудня 1942 на цьому реакторі була запущена ланцюгова ядерна реакція. Пізні роботи вченого відносяться до фізики високих енергій.
На честь Фермі названий 100-й елемент у таблиці Менделєєва – фермій. У США заснована премія його імені, ім'я Фермі привласнене Чикагському інституту ядерних досліджень.
Лауреат Нобелівської премії 1938р. з фізики «за доведення існування нових радіоактивних елементів і пов’язаного з цим відкриття ядерних реакцій, що спонукаються повільними нейтронами».
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Uif |
|
|
|
|
Uif |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
wif |
|
|
|
|
if |
|
|
|
|
|
Ef |
Ei |
, |
|
|
(13.7) |
||||
|
4 2 |
|
|
|
4 |
|
|
E0 |
|
|||||||||||
де ω - кругова частота коливань електромагнітної хвилі, |
і |
E0 |
- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
i |
|
енергії у стаціонарних станах і |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
- |
|||||||
і f відповідно E f |
Ei fi |
, а Uif |
||||||||||||||||||
матричний елемент оператора збурення U |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
d |
3 |
r , |
|
|
|
|
(13.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Uif f U i |
|
|
|
|
|
||||||||
а 0f i i0 |
- хвильові функції незбуреної системи в її кінцевому і по- |
|||||||||||||||||||
чатковому стаціонарних станах відповідно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
============================================================
Знайдемо ймовірність вимушеного електронного переходу В1,2 ( ) методом нестаціонарної теорії збурень під дією електромагнітної хвилі
Ex = Ex0сos ( t - 2 x/ ) (13.д.1)
Розмір атома а , тому наближено Ex=Ex0сos( t). Електричне поле хвилі створює потенціал U'(x,t), що збурює атом протягом інтервалу часу = t1 - t0 від t0 до t1.
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= - |
|
eE dx = -eE |
0 |
x 0,5 |
|
exp -i t exp +i t . |
(13.д.2) |
|
U |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння Шредінґера для випадку збурення, має вигляд
|
|
|
|
i |
|
H 0 U , |
(13.д.3) |
t |
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
308 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
де - довільне позитивне число, менше одиниці. Для випадку U = 0
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
H 0 0 , |
|
(13.д.4) |
|||||
де |
|
t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
,t) Cn n0( |
|
|
)exp i En0t |
. |
|
||||
|
|
|
0 ( |
r |
r |
(13.д.5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
C C |
|
- характеризує ймовірність знаходження електрона в квантовому |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
стані n. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
При наявності збурення U (x,t) 0 шукатимемо розв’язок (13.д.4) у |
||||||||||||
вигляді |
|
|
|
|
)exp i En0t |
|
|
||||||||
|
|
|
( |
r |
,t) Cn (t) n0( |
r |
(13.д.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
методом варіації змінного коефіцієнта Сn(t). Підстановкою (13.д.6) в (13.д.3) з урахуванням (13.д.4) отримаємо:
i k0 exp i Ekt Ck |
t U k0 exp i Ekt . (13.д.7) |
k |
k |
Помножимо обидві частини рівняння (13.д.7) m0 exp i Emt |
і проінтег- |
||||||||||||||||||||
руємо по всьому простору |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i |
Cm(t) |
|
|
C (t) U |
1 2 exp i( |
|
)t |
exp i( |
|
)t |
(13.д.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
k |
|
mk |
|
|
km |
|
|
|
km |
|
|
|
||||
|
|
|
|
k |
Cm (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
|
Ck (t) Umk r,t , |
|
|
|
|
(13.д.8*) |
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де використано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U |
mk |
x,t |
U x 1 2 exp i( |
)t exp i( |
)t |
|
(13.д.9) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
mk |
|
|
km |
|
|
|
|
km |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.9*) |
||
|
|
|
|
|
|
Umk |
m U (x) k dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
km Ek Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
k dv mk . |
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матричним елементом оператора збу- |
|||||||||
У подальшому будемо називати Umk |
|||||||||||||||||||||
рення U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Система |
рівнянь |
(13.д.8*) |
точна, |
але |
її |
розв'язок |
отримати |
досить |
|||||||||||
складно, тому наступним кроком є наближене представлення коефіцієнтів Сk – амплітуд імовірності за допомогою ряду
C |
k |
C0 |
C 1 |
2C |
2 |
|
(13.д.12) |
|
k |
k |
|
k |
|
|
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
309 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
Параметр λ вказує на порядок малості. У відсутності збурення (в нульовому наближенні) усі поправки, починаючи з k=1, дорівнюють нулю Ck( ) = 0 для
> 0, а
Ck1 ki , |
(13.д.12*) |
бо при k=і система дійсно знаходиться у початковому стані з імовірністю рівною одиниці.
Рівняння (13.д.8*) із урахуванням (13.д.12*) зводяться до системи рівнянь
i dCm1 t dt Umi (x,t) |
|
|||
i dCm2 t |
dt Umi (x,t) |
(13.д.13) |
||
|
|
|||
У першому наближенні залишається лише перше рівняння |
|
|||
|
dC f1 t |
|
||
i |
|
|
U fi (x,t) , |
(13.д.13*) |
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
розв’язок якого дає амплітуду ймовірності переходу із початкового стану і в кінцевий f
Cf1 (t) |
i |
t |
U |
|
1 |
ei( fi )t ei( fi |
)t dt . |
(13.д.13**) |
|
|
|||||||
|
|
if |
2 |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Після інтегрування (13.д.13*) у межах від t0 до t1 , де = t1 - t0 - інтервал часу дії збурення, отримаємо суму двох членів, в одному з яких у знаменнику сто-
їть |
fi |
, а в другому - |
fi |
. Врахувавши, що для поглинання світла |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fi |
|
1 |
|
|
fi |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
t i |
2 |
|
|
|
i |
|
2 |
|
e |
i |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
e fi |
|
|
0 e |
fi |
|
|
|
|
e |
fi |
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Cf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.14) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
U fi |
ei fi t0 ei fi |
|
2 2sin fi |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U fi |
|
2 sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cf1 C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.15) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
( fi )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При великих
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
310 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
lim |
sin2 0,5( fi ) |
( fi ) |
1 |
E0f |
Ei0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.д.16) |
||||||||
0,5 ( fi ) |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Підставивши (13.д.15) в (13.д.14), маємо |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Cf1 Ci 1 |
|
|
|
U fi |
|
2 |
fi . |
|
(13.д.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Імовірність переходу із стану і до іншого стану f за одиницю часу дорівнює
|
d |
|
C 1 Ci 1 |
|
2 |
|
U |
|
2 |
|
2 |
|
U |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
f |
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|||
wif |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( fi ) |
|
|
|
|
|
(Ef |
Ei |
) |
(13.д.18) |
|
|
d |
4 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цей вираз називається злотим правилом Фермі.
============================================================
Для того, щоб за допомогою золотого правила Фермі (13.7) знайти коефіцієнт вимушеного переходу Ейнштейна, необхідно знати потенціал збурення U та спектральну густину випромінювання
, що збурює систему. Для плоскої електромагнітної хвилі з дов-
жиною хвилі a (у довгохвильовому наближенні), де а – розмір атома, матричний елемент оператора збурення U fi згідно (13.д.2) дорівнює:
U fi eEx0 xfi , |
(13.9) |
де Ex0 - напруженість електричного поля електромагнітної хвилі, що збурює, а ex fi e 0f x i0dv - матричний елемент дипольного
моменту. Спектральна густина випромінювання запишеться за допомогою відомих формул електродинаміки
|
1 |
|
E 2 |
|
H 2 |
|
3 |
E 0x 2 |
, |
(13.10) |
||
|
8 |
|||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де квадрати E 2 |
H 2 - |
середні значення квадратів напруженості |
||||||||||
електричного і магнітного полів, |
E 2x |
E0 x 2 |
2 і для ізотропного |
|||||||||
випромінювання |
E 2 |
3 E 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Комбінуючи (13.9) та (13.10), отримаємо
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
311 |
Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній
|
|
8 e2 |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w |
|
|
|
|
if |
|
|
|
( ) ( |
|
|
)d , |
(13.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 4 2 |
|
|
||||||||||||||||||
if |
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
|
0f x i0dx . |
|
|||||||||
де використано, що U fi eEx0 x fi і x fi |
|
||||||||||||||||||||
Після інтегрування по всім частотам маємо |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e |
2 |
|
xif |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
w |
|
|
w d |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) . |
(13.12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
fi |
|
if |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Згідно (13.2), |
|
|
|
|
|
|
|
Bif |
( if |
) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
wif |
|
|
|
|||||||||||||
Порівнюючи вирази (13.12) і (13.13), остаточно отримаємо вираз для коефіцієнта вимушених переходів Ейнштейна
B |
|
2 |
|
|
er |
|
2 |
|
. |
(13.14) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|||||||||||
if |
|
3 2 |
|
|
if |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, знаючи хвильові функції початкових (і) та кінцевих (f) стаціонарних станів, можна знайти матричні елементи переходу
|
|
0 |
|
0 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
rif |
|
i |
r f |
d |
|
r |
і коефіцієнти Ейнштейна Bif |
|
|
erif |
та |
|||
|
3 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
2 3 |
|
B |
, які описують поглинання та випромінювання світла. |
|||||||||
c3 |
||||||||||||||
if |
|
if |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для неполяризованого випромінювання (або при круговій поляризації) густина випромінювання збільшується вдвічі, тому що при круго-
вій поляризації є дві взаємо перпендикулярні складові E0x і E0y і
тому Bfi (не поляризоване)= 2 Bfi (поляризоване).
13.3. Сила осцилятора
Для характеристики здатності систем випромінювати або поглинати електромагнітні хвилі використовують силу осцилятора ffi. Силою осцилятора називається безрозмірна величина - відношення інтенсивності випромінювання системою до інтенсивності випромінювання електрона, який розглядається, як тривимірний осцилятор, тобто
Находкін М.Г., Харченко Н.П., Атомна фізика |
312 |