s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 12. Атом гелію

k

Із (12.13*) легко визначити коефіцієнти ряду ак

0 U 0dv

ak k n (12.14)

Ek0 En0

Розглянемо тепер стаціонарні стани атома гелію. Для ви-

значення енергії стаціонарного стану 1s атома гелію застосуємо формулу (12.11). Скористаємося для цього хвильовою функцією 1s стану атома водню, для якого

і підставимо їх в формулу (12.11) для Е’1s

============================================================

Для обчислення квадратури в (12.17) перейдемо до нових змінних 1, 2, 12

1,2,12 2Za0 r1,2,12 ; dv a0 2Z 6 12 sin 1d 1d 1d 1 22 sin 2d 2d 2d 2

Почнемо інтегрування в формулі (12.17) по 1 і 1

I1 2 sin 1 12 d 1 , де 12 2 12 2 1 cos 1 . Інтеграл I1 береться,

0

якщо зробити заміну змінних: 2 12 2 1 cos 1 z2; і sin 1d 1 zdz 1 .

Глава 12. Атом гелію

I2 I1e 1 12d 1 4 e 1 12d 1 4 1 e 1 12d 1 4 [2 e ( 2)]

Повний шестикратний інтеграл рівний I3 =20 2.

=============================================================

Після обчислення інтегралу остаточно отримаємо

де а0 - радіус першої борівської орбіти.

Експеримент дає для цієї енергії значення Е1іНе = - 78,9eV. Похибка між розрахунком і експериментом становить 5,3% . Вона зменшується із збільшенням Z, бо при цьому зменшується вплив відштовхування електронів один від одного. Наступні порядки наближення зменшують розбіжність з експериментом.

12.3. Принцип Паулі

ПАУЛІ ВОЛЬФГАНГ (1900-1958)

Швейцарський фізик-теоретик.

Закінчив Мюнхенський університет (1921). Перша робота Паулі була присвячена математичним питанням єдиної теорії гравітації й електромагнетизму і вийшла у світ в 1918, а в наступному році до Паулі, якому тоді було 19 років, звернулися з проханням написати велику статтю по теорії відносності для Енциклопедії математичних наук (Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften). У 1921 Паулі захистив докторську дисертацію в Мюн-

хенському університеті під керівництвом А.Зоммерфельда. У 1921-1922 був асистентом М.Борна на кафедрі теоретичної фізики в Геттінгенському університеті. Познайомився з Н.Бором і в 1922-1923 працював в Інституті теоретичної фізики в Копенгагені, допомагав у виданні робіт Бора німецькою мовою. У 1923 – доцент університету в Гамбурзі; з 1928 – професор Вищого технічного училища в Цюріху (крім 1935-1936 і 1940-1946, коли він працював в Інституті фундаментальних досліджень у Прінстоні).

Коли Паулі працював у Геттінгені, Бор займався пошуками закономірностей заповнення електронних оболонок атому. Беручи участь у рішенні цієї проблеми, Паулі ввів

Глава 12. Атом гелію

поняття спіну й у 1925 сформулював один з найважливіших принципів сучасної теоретичної фізики, відповідно до якого дві тотожні частинки з напівцілими спінами не можуть знаходитися в одному стані, тобто не можуть мати однакові значення всіх чотирьох квантових чисел (головного, орбітального, магнітного і спінового). Принцип Паулі дав пояснення закономірностям, яким підкоряється заповнення електронних оболонок атомів, і послужив вихідним пунктом для пояснення тонкої і надтонкої структур атомних спектрів. У 1927 Паулі опублікував статтю, яка пояснює природу парамагнетизму металів, у якій зробив висновок, що поведінка електронів у металах підкоряється законам, заснованим на принципі заборони, а не класичним статистичним законам. Разом із В.Гейзенбергом почав спробу формулювання квантової електродинаміки, ввівши загальну схему квантування полів і заклавши тим самим основи систематичної теорії квантування полів. У 1931 висловив гіпотезу про існування нейтрино (нейтральної частинки з нульовою масою спокою і спіном 1/2). Паулі – автор фундаментальних робіт з теорії елементарних частинок, а також мезонної теорії ядерних сил.

Паулі був визнаний гідним медалей Х.Лоренца (1930), Б.Франкліна (1952), М.Планка (1958). Лауреат Нобелівської премії 1945р. з фізики «за відкриття принципу заборони, який ще називають принципом Паулі».

Елементарні частинки мають однакові властивості, коли в них однакова маса, заряд, спін, енергія тощо. Тобто, якщо поміняти місцями дві однакові частинки, то нічого не зміниться. Ця властивість покла-

дена в основу принципу нерозрізняємості або тотожності елементарних частинок.

Проте можна показати, що в системі двох електронів має місце обмінне виродження. Дійсно рівняння Шредінгера для двох тотожних

вою енергією Е, тобто має місце обмінне виродження, котре супере-

чить принципу тотожності однакових частинок.

Отже, треба знайти такі розв’язки рівняння Шредінгера, котрі не суперечать принципу тотожності однакових частинок. Для цього введемо оператор перестановки частинок P такий, що

Глава 12. Атом гелію

Подіємо тепер на хвильову функцію оператором P двічі. Тоді

-симетричні, коли P 1 , тобто P c (r1r2 ) c (r2r1 ) і хвильова функція не змінює знака при перестановці двох тотожних частинок,

-антисиметричні, коли P c (r1r2 ) c (r2r1 ) і хвильова функція змі-

нює знак при перестановці місцями двох тотожних частинок. Сконструюємо такі хвильові функції, користуючись принципом суперпозиції:

є також розв’язком вихідного хвильового рівняння Шредінґера, де СC,A - сталі коефіцієнти. Знайдемо тепер густину ймовірності |u*u|

Застосуємо тепер до (12.25) принцип тотожності частинок. Згідно цього принципу перестановка частинок місцями не повинна змінити

2

u*u. Згадаємо також, що оператор P 1 . Тому члени *С С і *A A не

змінюють знак, а члени, в які входить A або *А, змінюють знак при перестановці місцями частинок 1 і 2, тобто змінюється знак другого і третього членів в формулі (12.25). Для того щоб густина ймовірності u*u не змінювала знак при перестановці місцями двох частинок, необхідно

Глава 12. Атом гелію

вимагати, щоб мали місце такі співвідношення: ССС*A = 0 або С*ССА = 0. Із цих співвідношень виникає альтернатива:

Умови (12.26) означають, що при СС = 0 стан описується антисиметричними хвильовими функціями, а при СА = 0 - симетричними. Який з цих станів реалізується в природі повинен дати відповідь дослід.

В 1924 році лауреат нобелівської премії швейцарський фізик Вольфганг Паулі узагальнив існуючий дослід і встановив, що для стани частинок з напівцілим спіном ( s = 1/2, 3/2, ...) описуються антисиметричними хвильовими функціями A, а частинок з цілим спіном ( s = 0, 1, 2,...) - симетричними хвильовими функціями С. Це твердження називається принципом Паулі або принципом ви-

ключення. Його можна сформулювати і інакше, а саме: в системі ча-

стинок з напівцілим спіном - ферміонів не може бути двох частинок, що знаходяться в одному і тому ж стані. Дійсно ферміони описуються антисиметричними функціями:

де індекси при хвильових функціях означають трійку квантових чисел n, ℓ, ml для частинок з однаковим спіном. Якщо 1(1) 2(1), то і 1(2)2(2) тобто А 0 і такого стану не існує. Аналогічно, коли 2(1) 2(2), то А 0 і такого стану також не існує. Цей розгляд можна узагальнити для системи будь-якої скінченої N кількості частинок. В цьому разі

Якщо дві частинки тотожні, то це означає, що 1 2. Отже, детермінант з однаковими рядками дорівнює нулеві, тобто А 0 й такого стану не існує.

де Е - енергія частинок, Еі - хімічний потенціал стану частинок, котрий визначає зміну термодинамічних потенціалів при зміні числа частинок. Для того щоб відновити у пам’яті вигляд цих функцій розподілу, вони разом з розподілом Больцмана наведені на рис. 12.2, із якого видно, що

Глава 12. Атом гелію

вини дуже сильно відрізняються між собою особливо при малих значен-

нях = E - EF kBT .

Зробимо ще одне зауваження. Принцип Паулі потрібно застосовувати до всіх частинок, що знаходяться у Всесвіті. Ця обставина може призводити до надзвичайно великих складнощів у визначені хвильових функцій, тому що потрібно було б враховувати існування безлічі частинок. Проте на практиці необхідно враховувати лише ті частинки, хвильові функції котрих перекриваються. Це значно спрощує задачу знаходження хвильових функцій, тому що -функції досить швидко затухають із зростанням відстані між частинками r. В більшості практичних задач досить обмежитись врахуванням взаємодії частинок, що знаходяться на віддалях, що не більші за радіус першої борівської орбіти ( r < a0 ).

12.4. Вплив антисиметричності хвильових функцій на стаціонарні стани атому Не

Ще раз розглянемо вплив взаємодії електронів на енергії стаціонарних станів атому гелію з урахуванням антисиметричності хвильових функцій його електронів. Для цього один із його електронів залишимо у стані 1s, а другий може займати стани з іншими квантовими числами. Хвильові функції, у виразі (12.23), представимо у такому вигляді:

Тут, як і раніше, індекси С і А означають симетричність і антисиметричність просторової частини хвильових функцій відносно перестанов- ки1-го і 2-го електронів. Множники NC і NA характеризують спінові ха-

завжди антисиметричними. Після підстановки (12.31) у вираз (12.10) для внеску енергії взаємодії електронів до енергії стаціонарного стану отримаємо:

Глава 12. Атом гелію

En,A NA 2 IK Iob

де IK - кулонівський інтеграл, який виникає внаслідок кулонівської взаємодії електронів між собою у незмішаному стані, і Iob – обмінний інтеграл, який характеризує кулонівську взаємодію електронів у змішаному стані:

використанні хвильових функцій атому водню. Отже, із виразу (12.32) видно, що

Вибір симетричної просторової частини хвильової функції означає, що спінова її частина повинна змінювати знак при перестановці електро-

нів, що можливо коли спіни обох електронів антипаралельні, тобто у синглетному або парастані. Вибір антисиметричної просторової частини хвильової функції можливий при паралельних спінах, тобто у триплетному або ортостані. Отже, аналіз виразів (12.32), (12.33) і (12.34) вказує, що енергетичні рівні у парагелію мають менші енергії по відношенню до відповідних рівнів ортогелію, як це показано на схематичному рис.12.3. Найнижчим енергетичним рівнем буде синглетний

Глава 12. Атом гелію

стан парагелію 1S0. Причиною появи різниці в положеннях синглетних та триплетних станів в атомі гелію є обмінна енергія Iob, яка не має класичного аналогу. Вона з’являється внаслідок перекриття електронних хвильових функцій, тобто начебто електрон як би одночасно знаходиться як у стані 10 , так і в стані 0 . Коли перекриття хвильових функції відсутнє, то обмінна енергія не виникає. Поява триплетних рівнів у стані 1s12 p1 3P0,1,2 виникає внаслідок спін-орбітальної взаємодії, яка значно менша за обмінну енергію. Як видно із розгляду, схема термів збігається зі схемою термів, яку дає векторна модель атома у попередній главі. Однак, на відміну від векторної моделі, яка визначає лише структуру і систематику термів, метод збурень дозволяє отримувати значення відповідних енергій стаціонарних станів.

12.5.Висновки

1.Стаціонарні стани багатоелектронних атомів можна знаходити за допомогою теорії збурень. Вона полягає в тому, що хвильові функції складного атома можна отримувати шляхом змішування інших хвильових функцій простих атомів у відповідності до формули (12.5) і (12.12).

2.Теорія збурень дає рецепт такого змішування, що дозволяє обчислювати додаткові члени, котрі необхідно додати до енергії п-стану одноелектронного атома, щоб отримати ене-

ргію складного атома (формула (12.10)) En 0*n H0 0mdv .

3.Коефіцієнт ак, що відповідає кожній із орбіталей, що змішуються, визначається відношенням енергії збурення до різниці енергій (формула (12.14)). Внесок кожної із орбіталей в суміш хвильових функцій простих атомів визначається квадратом коефіцієнта змішування ак. Тому в суміші основну роль будуть грати ті орбіталі, котрі близькі до основної орбіталі, тобто ті, у яких Еm0-En0 найменші. Таким чином, якщо збурення велике (Еm0-En0 - величина не дуже мала), то можливе сильне змішування станів і теорія збурення першого порядку стає недостатньою для отримання адекватних результатів.

Глава 12. Атом гелію

4.Обмінне виродження не узгоджується з принципом тотожності однакових частинок. Це протиріччя усувається за допомогою принципу виключення або заборони Паулі. Згідно принципу виключення частинки з напівцілим спіном - ферміони описуються антисиметричними хвильовими функціями відносно перестановки місцями ферміонів. Або два ферміони не можуть знаходитись в одному і тому ж квантовому стані, тобто не може існувати двох ферміонів (електронів), всі квантові числа яких однакові.

5.Квантовий обмін ферміонів між різними станами призводить до появи обмінної енергії, котра є кулонівською енергією в умовах квантового обміну. Знак обмінної енергії визначається орієнтацією спінів, а її величина такого порядку, як і кулонівська енергія в полі ядра, тобто вона значно більша за енергію взаємодії магнітних моментів.

12.5.Контрольні запитання та вправи

1.В чому полягає метод збурень в квантовій механіці?

2.Як обрахувати за теорією збурень поправку першого порядку до енергії складного атома, якщо відома енергія стаціонарного стану простого атома?

3.Чому енергія основного стану атома гелію менша від енергії 4е2/2a0?

4.В чому полягає обмінне виродження?

5.Знайдіть другий потенціал іонізації атома гелію. Поясніть, чому таким способом не можна обчислити другий потенціал іонізації атома літію?

6.Чому в складних атомах при використанні принципу Паулі обмежуються розглядом лише найближчих електронів, тобто використовують при цьому лише чотири квантових числа?

Тестові завдання

1. ЯКИЙ ТИП ЗВ’ЯЗКУ МОМЕНТІВ ІМПУЛЬСІВ ЕЛЕКТРОНІВ МАЄ МІСЦЕ В АТОМІ ГЕЛІЮ? КОРИСТУЮЧИСЬ НАВЕДЕНИМИ ВІДПОВІДЯМИ, ВКАЖІТЬ ПРИЧИНИ, ЩО ОБУМОВИЛИ ОБРАНИЙ ВАМИ ТИП ЗВ’ЯЗКУ.