Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дифференциальные уравнения 2

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
515.6 Кб
Скачать

условное обозначение

x

P (x) = p(τ)

x0

и учитывая наличие решения y = 0, приходим к выводу, что все решения дифференциального уравнения (19.2) записываются формулой

y = Ce−P (x),

(19.3)

где C есть произвольная постоянная.

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (19.1) будем применять метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Опишем его.

Сначала в дифференциальном уравнении (19.1) выполним

замену

 

y = C(x)e−P (x),

(19.4)

где C(x) есть новая неизвестная непрерывно дифференцируемая на (a, b) функция. Подстановка выражения (19.4) в дифференциальное уравнение (19.1) определяет искомую функцию C(x). Имеем такую цепочку соотношений:

C(x)e−P (x) + C(x)e−P (x)(−p(x)) + p(x)C(x)e−P (x) = f(x)

x

C(x) = eP (x)f(x) C(x) = eP (τ)f(τ)+ C2,

x0

где x0 и x принадлежат интервалу (a, b), а C2 есть произвольная постоянная. Далее подставляя полученную функцию C(x) в выражение (19.3), получаем формулу решений дифференциального уравнения (19.1) при всех x (a, b):

x

y = Ce−P (x) + e−P (x)

eP (τ)f(τ)

(19.5)

x0

81

(здесь мы произвольную постоянную C2 обозначили через C). Из формулы (19.5) имеем, что решением дифференциального уравнения (19.1), удовлетворяющим начальному условию

y(x0) = y0, (19.6)

где y0 есть некоторое заданное число, является функция

x

y = y0eP (x0)e−P (x) + e−P (x)

eP (τ)f(τ)dτ.

 

x0

Непосредственным образом убеждаемся, что данная функция

является единственным решением задачи Коши (19.1), (19.6).

Обозначим через y (x) второе слагаемое формулы (19.5). Тогда на основании этой формулы приходим к выводу: общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (19.1) представляет собой сумму общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (19.2) и частного решения линейного неоднородного дифференци-

ального

уравнения (19.1) (т.к. y (x) является частным решением дифференциального уравнения (19.1)).

Пример 19.1. Решите дифференциальное уравнение

x x

y+ 1 + x2 y = 1 + x2

и найдите решение задачи Коши при y(0) = 0.

Решение. Сначала найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

x

y+ 1 + x2 y = 0.

Заметим, что функция y = 0 есть его решение.

82

Пусть теперь y ≠ 0. Тогда от предыдущего дифференциального уравнения переходим к равносильному ему дифференциальному уравнению с разделенными переменными

 

dy

=

xdx

 

 

 

.

 

y

1 + x2

Далее имеем, что

 

 

 

1

ln |y| = 2 ln(1 + x2) + ln C1,

где C1 есть произвольная положительная постоянная. Теперь с учетом частного решения y = 0 получаем общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения в виде

C

y = √ ,

1 + x2

где C есть произвольная постоянная.

Теперь для решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения применим метод вариации произвольной постоянной. Положив

C(x) y =

1 + x2

и подставив данное выражение для y в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, получаем его общее решение

Cx2

y = + √ .

1 + x2 2 1 + x2

При y(0) = 0 из последней формулы получаем, что C = 0.

Поэтому

x2

y =

2 831 + x2

x = 1,

есть искомое решение задачи Коши.

Пример 19.2. Решите дифференциальное уравнение

(x − 2xy − y2)dy + y2dx = 0.

Решение. Функция y = 0 является решением заданного дифференциального уравнения.

Пусть теперь y ≠ 0. Тогда исходное дифференциальное уравнение заменяем эквивалентным ему дифференциальным уравнением

x+

1 2y

y2

где x есть функция, зависящая от аргумента y. Решая соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение (У–7)

x+

1 2y

x = 0,

y2

 

 

получаем, что

1

x = Cy2ey.

Далее в исходном линейном неоднородном дифференциальном уравнении выполняем замену

1

x = C(y)y2ey.

После данной подстановки получаем, что

1

C(y) = 1 ey, y2

откуда

1

C(y) = ey + C2.

84

Поэтому

1

x = Cy2ey + y2.

Объединяя оба случая, получаем все решения исходного дифференциального уравнения:

1

x = Cy2ey + y2, y = 0.

Замечание 19.1. Отметим, что для решения линейного дифференциального уравнения (19.1) можно также использо-

вать метод Бернулли, состоящий в замене y(x) = u(x)v(x).

85

§ 20. Уравнение Бернулли.

 

Дифференциальное уравнение вида

 

y+ p(x)y = q(x)ym,

(20.1)

где p(x) и q(x) есть заданные непрерывные функции на (a, b), m есть некоторое вещественное число, отличное от нуля и единицы, будем называть уравнением Бернулли.

Нетрудно видеть, что при m > 0 дифференциальное уравнение (20.1) имеет частное решение y = 0.

Если y ≠ 0, то, разделив дифференциальное уравнение (20.1) на ym и введя новую неизвестную функцию z = y1−m, получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции z (У–8):

z+ (1 − m)p(x)z = (1 − m)q(x).

Пример 20.1. Решите дифференциальное уравнение

(x6 − y4)dy = 3x5ydx

и найдите интегральную кривую данного уравнения, проходящего через точку (1, 1).

Решение. Непосредственным образом проверяем, что y = 0 является решением исходного дифференциального уравнения, а x = 0 решением не является. При y ≠ 0 рассматриваемое дифференциальное уравнение заменяем эквивалентным

dx

x

=

y3

 

 

 

,

dy

3y

3x5

которое является уравнением Бернулли относительно x. Выполнив в данном дифференциальном уравнении замену z = x6, получаем линейное дифференциальное уравнение

z2yz = 2y3.

86

Линейное однородное дифференциальное уравнение

z2yz = 0

имеет общее решение z = Cy2. Далее в исходном линейном неоднородном дифференциальном уравнении выполняем замену z = C(y)y2. После данной замены получаем, что C(y) = 2y, откуда C(y) = −y2 + C1. Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

имеет вид

z = Cy2 − y4.

Поэтому формулы

x6 = Cy2 − y4, y = 0

задают все решения исходного дифференциального уравнения.

Подставляя во вторую формулу x = y = 1, получаем C = 2. Поэтому интегральная кривая, проходящая через точку (1, 1),

задается формулой

x6 = 2y2 − y4.

Замечание 20.1. Отметим, что для решения дифференциального уравнения (20.1) можно также использовать метод Бернулли, состоящий в замене y(x) = u(x)v(x).

87

§ 21. Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение вида (2.2) будем называть

однородным дифференциальным уравнением первого

порядка, если при x ≠ 0 ее можно записать в виде

( )

y

 

y= f x ,

(21.1)

где f(z) есть заданная непрерывная на некотором промежутке своего аргумента z функция.

Непосредственными вычислениями получаем (У–9), что дифференциальное уравнение (21.1) заменой y = xu, где u = u(x) есть новая неизвестная функция, сводится к эквивалентному дифференциальному уравнению

xu+ u = f(u).

(21.2)

При решении дифференциального уравнения (21.2) будем отдельно рассматривать следующие три случая: 1) f(u) ̸≡0;

2)f(u) 0; 3) f(uk) = uk для некоторых точек uk.

Впервом случае дифференциальное уравнение (21.2) эквивалентно дифференциальному уравнению с разделенными переменными (У–10)

du

dx

 

=

 

.

f(u) − u

x

В втором случае дифференциальное уравнение (21.2) эквивалентно дифференциальному уравнению

xu= 0.

В третьем случае непосредственной проверкой убеждаемся, что u(x) = uk есть частные решения дифференциального уравнения (21.2).

88

Пример 21.1. При x > 0, x + y > 0, решите дифференци-

альное уравнение

x2 + y2 xy= x + y .

Решение. Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

1 + (

 

 

)

 

 

y=

x

 

.

 

 

y

 

 

1 + (

 

)

 

 

x

 

Поэтому оно является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. После замены y = ux получаем, что

1 + u2 xu+ u = 1 + u ,

а, значит,

1 − u xu= 1 + u.

Проверкой убеждаемся, что u = 1 есть частное решение данного дифференциального уравнения. Если же u ≠ 1, то последнее дифференциальное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению

dx 1 + u

x = 1 − udu,

решения которого задаются формулой

C + ln |x| = ln (u − 1)2 − u,

где C есть произвольная постоянная. Обратная замена дает

общий интеграл

 

 

 

 

y

2

y

 

 

C + ln |x| = ln (

 

1)

(

 

).

x

x

89

a1ξ + b1η

С учетом условия x > 0 получаем, что

( )2 ( )

 

y

 

y

C + ln x = ln

 

1

 

.

x

x

Объединяя оба случая (u = 1

и u ̸= 1), получаем все

множество решений

исходного дифференциального уравне-

ния

2

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

ln x + ln (

 

1) + (

 

) = C, x − y = 0.

 

x

x

 

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

 

 

 

 

a1x + b1y + c1

 

y= f(

 

),

(21.3)

a2x + b2y + c2

где f(z) есть заданная непрерывная на некотором промежутке своего аргумента z функция, вещественные числа a1, b1, c1, a2, b2, c2, таковы, что |a1| + |b1| > 0, |a2| + |b2| > 0.

Рассмотрим на плоскости две прямые: a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0. Если эти прямые имеют точку пересечения (x0, y0), то замена x = ξ + x0, y = η + y0 приводит дифференциальное уравнение (21.3) к однородному дифференциальному уравнению

()

= f a2ξ + b2η .

Если же эти прямые параллельны, то найдется такое вещественное число k ≠ 0, что a2x + b2y ≡ k(a1x + b1y). Поэтому дифференциальное уравнение (21.3) может быть представлено в виде ( )

y= a1x + b1y + c1 k(a1x + b1y) + c2

90