Дифференциальные уравнения 2

Для нахождения интегрируемых комбинаций системы в симметрической форме (27.5) часто используют основные свойства производных пропорций:

Пример 27.1. В теории движения твердого тела важную роль играет дифференциальная система

Ее интегрируемые комбинации

2Axdx + 2Bydy + 2Czdz, 2A2xdx + 2B2ydy + 2C2zdz,

задают два первых интеграла

Ax2 + By2 + Cz2

и

A2x2 + B2y2 + C2z2.

121

§ 28. Системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим сначала линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

где квадратная матрица порядка n непрерывна на промежутке I. Данные системы, вообще говоря, не интегрируются в квадратурах. Один из классов, интегрируемых в квадратурах, мы указали ранее – это линейные дифференциальные системы вида (28.1) с постоянной матрицей A. Рассмотрим еще один класс линейных дифференциальных систем, интегрируемых в квадратурах, впервые рассмотренный И. А. Лаппо– Данилевским.

Непрерывную матрицу A(t), t I, будем называть перестановочной со своим интегралом на промежутке I, если

Теорема 28.1 (Лаппо–Данилевского). Если матрица коэффициентов дифференциальной системы (28.1) перестановочна со своим интегралом на промежутке I, то семейство всех решений этой дифференциальной системы доставляет формула

( ∫t ) x = exp A(τ)dτ C,

t0

122

где

Непрерывно дифференцируемую матрицу L, определенную на промежутке [t0, +∞), будем называть матрицей Ляпунова, если:

1)матрицы L и dLdt ограничены на [t0, +∞);

2)|det L(t)| > m > 0, t > t0.

Отметим, что матрица L−1, обратная неособой непрерывно дифференцируемой матрице L, также является непрерывно дифференцируемой. Кроме того, из определения матрицы Ляпунова и способа построения обратной матрицы вытекает, что матрица, обратная матрице Ляпунова, также является матрицей Ляпунова.

Линейное преобразование

y= L(t)x

сматрицей Ляпунова L будем называть преобразованием Ляпунова. Будем говорить, что дифференциальная система (28.1), заданная на промежутке [t0, +∞), приводима по Ляпунову (приводима), если существует преобразование Ляпунова, приводящее данную дифференциальную систему к дифференциальной системе

dydt = By

с постоянной матрицей B.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 28.2 (критерий приводимости Еругина). Линейная дифференциальная система (28.1) приводима тогда и

123

только тогда, когда некоторая ее фундаментальная матрица X(t) представима в виде

X(t) = L(t)eBt,

где L есть матрица Ляпунова, B – постоянная матрица. Рассмотрим теперь дифференциальную систему (28.1) с

непрерывной периодической матрицей A(t), т.е. когда

A(t + T ) = A(t), t R, T > 0.

Результаты, изложенные далее в данном параграфе, называют теорией Флоке–Ляпунова.

Теорема 28.3. Каждую фундаментальную матрицу Φ(t) дифференциальной системы (28.1) можно представить в виде

где G(t) есть T –периодическая на R матрица, R – постоянная матрица.

Доказательство. Пусть Φ(t) есть фундаментальная матрица дифференциальной системы (28.1). Тогда и матрица Ψ(t) = Φ(t + T ) также является фундаментальной матрицей этой дифференциальной системы. В самом деле,

Φ′(t + T ) = A(t + T )Φ(t + T ),

а далее в силу T –периодичности матрицы A(t) и определения матрицы Ψ(t) получаем, что

Ψ′(t) = A(t)Ψ(t).

Кроме того, матрица Ψ(t) является неособой при всех t R, так как Φ(t) есть неособая матрица. Поэтому существует такая неособая постоянная матрица B, что

124

В силу невырожденности матрица B имеет логарифм. Введем вспомогательные обозначения

R = T1 Ln B, G(t) = Φ(t)e−tR.

Непосредственными вычислениями проверяем, что условия (28.2) выполнены. Осталось проверить, что матрица G(t) является T –периодической. В самом деле

G(t + T ) = Φ(t + T )e−(t+T )R = Φ(t)Be−T Re−tR = = Φ(t)BB−1e−tR = Φ(t)e−tR = G(t), t R.

Теорема 28.3 доказана.

Постоянная матрица B, определяемая формулой (28.3), называется матрицей монодромии. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы Φ(t), которая не единственна. Поэтому и матрица монодромии определяется не однозначно.

Пусть Φ1(t) есть другая фундаментальная матрица дифференциальной системы (28.1). На ее основе определим матрицу монодромии B1:

Φ1(t + T ) = Φ1(t)B1, t R.

Далее учитываем связь между двумя фундаментальными матрицами в виде

Φ1(t) = Φ(t)S, t R, det S ≠ 0.

Сравнивая последнее соотношение с (28.3), получаем, что

B = SB1S−1.

Таким образом, мы получили, что все матрицы монодромии подобны. Отметим, что часто матрицей монодромии называют матрицу, которая определяется нормированной при

125

t = 0 фундаментальной матрицей Φ(t). Тогда из (28.3) имеем, что

Собственные числа µ1, . . . , µn матрицы монодромии называют мультипликаторами дифференциальной системы (28.1), а собственные числа λ1, . . . , λn матрицы R из теоремы 28.3

– характеристическими показателями. Из определения матрицы R имеем, что

1

λj = T Ln µj, j = 1, n.

При этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным мультипликаторам – характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности. Отметим также, что характеристические показатели определены с точностью до 2πki, k Z.

0

Отметим, что название "мультипликатор"(множитель) объясняется следующим утверждением.

Теорема 28.4. Число µ является мультипликатором дифференциальной системы (28.1) тогда и только тогда, когда существует такое ненулевое решение φ(t) этой дифференциальной системы, что

126

Доказательство. Согласно (28.4) утверждение, что число µ есть мультипликатор, равносильно существованию ненулевого вектора x0 Cn, такого, что

Решение φ(t), удовлетворяющее начальному условию

φ(0) = x0,

имеет вид

φ(t) = Φ(t)x0, t R.

Отсюда

φ(t + T ) = Φ(t)Φ(ω)x0, t R.

Поэтому соотношение (28.7) равносильно соотношениям

φ(t + T ) = µΦ(t)x0 = µφ(xt), t R.

Теорема 28.4 доказана.

Следствие 28.1. Для того, чтобы дифференциальная система (28.1) имела хотя бы одно T –периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы один из его мультипликаторов был равен 1.

Из формулы (28.2) вытекает, что фундаментальная матрица дифференциальной системы (28.1) представляет собой произведение неособой матрицы G(t) на фундаментальную

с постоянными коэффициентами. Поэтому можно ожидать,

преобразует дифференциальную систему (28.1) в дифференциальную систему (28.8).

127

Так как

G(t) = Φ(t)e−tR,

то

dtd G(t) = A(t)Φ(t)e−tR − Φ(t)e−tRR = A(t)G(t) − G(t)R.

Отсюда и из (28.10) имеем, что

dydt = Ry.

Таким образом, мы получили следующее утверждение.

Теорема 28.5. Существует линейная замена переменных (28.9), где G(t), t R, есть неособая гладкая T –периодичес- кая матрица, переводящая дифференциальную систему (28.1) к линейной однородной дифференциальной системе с постоянной матрицей коэффициентов, собственные числа которой есть характеристические показатели дифференциальной системы (28.1).

Как мы показали в начале данного параграфа, данное свойство дифференциальной системы (28.1) называют приводимостью.

Замечание 28.1. Матрицы G(t) в (28.9) и R в (28.8), вообще говоря, комплексные. Это объясняется тем, что логарифм вещественной матрицы не обязательно является вещественным (простейший пример такой матрицы – отрицательное число). Поэтому, если мы желаем привести дифференциальную систему (28.1) к вещественной дифференциальной системе (28.8), а матрица монодромии не допускает вещественного логарифма, то поступают следующим образом.

128

Будем рассматривать A(t) как матрицу с периодом, равным 2T . По этому периоду строим матрицу монодромии. Так

как

Φ(t + 2T ) = Φ(t + T )B = Φ(t)B2, t R,

то матрица монодромии по периоду 2T равна квадрату матрицы монодромии по периоду T . Известно, что если B есть вещественная матрица, то матрица B2 имеет вещественный логарифм. Поэтому для вещественной дифференциальной системы (28.1) всегда существует вещественная замена (28.9), где G(t) есть вещественная неособая при всех t R 2T – периодическая гладкая матричная функция, переводящая дифференциальную систему (28.1) в дифференциальную систему с постоянной вещественной матрицей коэффициентов.

129

§ 29. Голоморфные системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных диффе-

где f есть голоморфная на области G Rn+1 вектор–функция. Тогда для каждой точки (s, ξ1, . . . , ξn) G существует такая ее окрестность

|t − s| < ρ, max |xi − ξi| < R,

i=1,n

в которой вектор–функция f разлагается в сходящийся векторный степенной ряд

ξ = (ξ1, . . . , ξn)T , j = (j1, . . . , jn), xj = xj11 · · · xjnn .

Тогда предыдущий векторный степенной ряд можно записать в виде

∑+∞

akj1...jn (t − s)k(x1 − ξ1)j1 · · · (xn − ξn)jn =

k+j1+...+jn=0

∑+∞

=ak,j(t − s)k(x − ξ)j.

k,j=0

130