Дифференциальные уравнения 2
.pdfи затем заменой z = a1x + b1y приведено (У–11) к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
91
§ 22. Дифференциальные уравнения первого порядка в общей форме.
Рассмотрим общий случай обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
F (x, y, y′) = 0, |
(22.1) |
не разрешенного относительно производной. Если же дифференциальное уравнение (22.1) удается разрешить относительно y′, то получаются дифференциальные уравнения вида
y′ = fi(x, y), i = 1, 2, . . .
которые могут быть проинтегрированы изложенными ранее методами.
Предположим, что дифференциальное уравнение (22.1) в окрестности точки (x0, y0) может быть разрешено относительно производной и распадается на дифференциальные уравнения
y′ = fi(x, y), i = 1, m.
Пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение
y = φi(x, C), i = 1, m, |
(22.2) |
или общий интеграл
Φi(x, y, C) = 0, i = 1, m. |
(22.3) |
Тогда совокупность общих решений (22.2) (или общих интегралов (22.3)) будем называть общим решением (общим интегралом) дифференциального уравнения (22.1).
Однако дифференциальное уравнение (22.1) не всегда разрешимо относительно производной y′ и еще реже полученные после этого дифференциальные уравнения
y′ = fi(x, y), i = 1, m,
92
интегрируются в квадратурах.
Рассмотрим интегрирование некоторых классов дифференциальных уравнений (22.1), не разрешенных относительно производных.
1. Уравнения, разрешенные относительно переменной y и не содержащие переменной x.
Эти дифференциальные уравнения имеют вид
y = φ(y′). |
(22.4) |
Для интегрирования дифференциального уравнения (22.4) применим так называемый метод введения параметра. Положим y′ = p, где p есть параметр. Тогда дифференциальное уравнение (22.4) примет вид
y = φ(p). |
(22.5) |
Нам осталось получить еще одно уравнение, выражающее x через p и C. Оно получается таким образом. Так как y′ = p, то имеем, что
dx = |
dy |
x = ∫ |
dy |
+ C. |
|
|
|||
p |
p |
Применяя к последнему интегралу метод интегрирования по частям, с учетом (22.5) имеем, что
∫ |
dy |
= |
y |
+ ∫ |
φ(p) |
dp. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
p |
|
p2 |
|
|||||||
Поэтому |
|
y |
+ ∫ |
|
φ(p) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
|
|
|
|
dp + C. |
(22.6) |
|||||
p |
|
p2 |
|
Таким образом, мы получили систему уравнений (22.5), (22.6), которая является общим решением дифференциального уравнения (22.4) в параметрической форме. Исключив,
93
если это возможно, из этой системы параметр p, получим общий интеграл дифференциального уравнения (22.4) в виде
Φ(x, y, C) = 0.
Пример 22.1. Найдите общее решение дифференциально-
го уравнения |
|
y = ay′2 + by′3, a R, b R. |
(22.7) |
Решение. Положив y′ = p, из дифференциального уравнения (22.7) имеем
y = ap2 + bp3 dy = 2apdp + 3bp2dp.
Далее с учетом того, что dy = pdx, получаем
pdx = 2apdp + 3b2dp dx = 2adp + 3bpdp,
и поэтому
x = 2ap + 32bp2 + C.
Следовательно, общим решением дифференциального уравнения (22.7) в параметрической форме будет система
{x = 2ap + 32bp2 + C, y = ap2 + bp3.
2.Уравнения, разрешенные относительно переменной x и не содержащие переменной y.
Данные дифференциальные уравнения имеют вид:
x = φ(y′). |
(22.8) |
В данном случае положим y′ = p. Тогда
x = φ(p). |
(22.9) |
94
Далее используем соотношение y′ = p и формулу интегрирования по частям:
dy = pdx y = ∫ |
pdx = px − ∫ |
xdp |
|
y = pφ(p) − |
∫ |
φ(p)dp + C. |
(22.10) |
Система соотношений (22.9), (22.10) и является общим решением дифференциального уравнения (22.8) в параметрической форме. Если удается исключить из этой системы параметр p, то получим общий интеграл Φ(x, y, C) = 0 исходного дифференциального уравнения.
Пример 22.2. Найдите общее решение дифференциально-
го уравнения |
|
|
|
|
x = y′ sin y′. |
(22.11) |
|
Решение. Полагаем y′ = p. Тогда |
|
||
|
x = p sin p. |
|
|
Из соотношения y′ = p имеем |
xdp = px − ∫ |
|
|
dy = pdx y = ∫ |
pdx = px − ∫ |
p sin pdp = |
=px + p cos p − sin p + C.
Витоге имеем общее решение дифференциального уравнения
(22.11) в параметрической форме
{
x = p sin p,
y= p2 sin p + p cos p − sin p + C.
3.Уравнения, разрешенные относительно переменной y.
Эти дифференциальные уравнения имеют вид
y = φ(x, y′). |
(22.12) |
95
Дифференциальное уравнение (22.12) допускает параметрическое представление
y = φ(x, p), y′ = p. |
(22.13) |
С учетом соотношения dy = y′dx = pdx из (22.13) получаем дифференциальное уравнение, связывающее p и x:
φx′ dx + φp′ dp = pdx. |
(22.14) |
Если дифференциальное уравнение (22.14) удается проинтегрировать в квадратурах, считая p функцией x (или x – функцией p), то, подставив общее решение p = a(x, C) (или общее решение x = b(p, C)) в соотношение y = φ(x, p), получим общее решение дифференциального уравнения (22.12) в виде
y = φ(x, a(x, C)), |
(22.15) |
(или общее решение этого дифференциального уравнения в
параметрической форме)
{
x = b(p, C),
(22.16)
y = φ(b(p, C), p).
Пример 22.3. Найдите общее решение дифференциально-
го уравнения |
x2 |
|
|
y = y′2 − xy′ + |
|
||
|
. |
(22.17) |
|
2 |
Решение. Данное дифференциальное уравнение разрешено относительно переменной y. Оно допускает параметриче-
ское представление |
|
|
|
|
x2 |
|
|
y = p2 − xp + |
|
, y′ = p. |
(22.18) |
2 |
Так как dy = y′dx = pdx, то из (22.18) получаем, что
(−p+x)dx+(2p−x)dp = pdx (−2p+x)dx+(2p−x)dx = 0
96
(2p − x)(−dx + dp) = 0.
Последнее уравнение распадается на два:
dp − dx = 0 и 2p − x = 0. |
(22.19) |
Первое из них дает
p = x + C.
Подставив данное выражение для p в (22.18), получим, что
y = x2 + Cx + C
2
есть общее решение дифференциального уравнения (22.17). Второе уравнение из (22.19) дает
x = p2.
Тогда из (22.18) получим решение
y = x2 .
4
4. Уравнения, разрешенные относительно переменной x.
Данные дифференциальные уравнения имеют вид
x = φ(y, y′). |
(22.20) |
Оно допускает параметрическое представление в виде
x = φ(y, p), y′ = p. |
(22.21) |
С учетом того, что dy = y′dx = pdx, из (22.21) имеем |
|
dy = p(φy′ dy + φp′ dp). |
(22.22) |
Если дифференциальное уравнение (22.22) интегрируется в квадратурах, то дифференциальное уравнение (22.20) аналогично предыдущему случаю также может быть проинтегрировано в квадратурах.
97
5. Уравнение Лагранжа.
Данное уравнение имеет вид
y = xφ(y′) + ψ(y′). |
(22.23) |
Оно линейно относительно x и y, а φ и ψ есть заданные гладкие функции, причем φ(y′) ≠ y′, y = y(x).
Интегральные кривые этого дифференциального уравнения будем искать в параметрической форме x = x(p), y = y(p), где p есть параметр, в качестве которого возьмем y′ = p = p(x). Тогда из (22.23) имеем, что
y = xφ(p) + ψ(p). |
(22.24) |
Для нахождения зависимости x = x(p) продифференцируем соотношение (22.24) по x:
p = φ(p) + xφ′(p) |
dp |
+ ψ′(p) |
dp |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
dx |
dx |
|
|||||||
p − φ(p) = (xφ′(p) + ψ′(p)) |
dp |
, |
(22.25) |
||||||
|
|||||||||
dx |
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − φ(p)) |
dx |
= xφ′(p) + ψ′(p). |
(22.26) |
||||||
|
|||||||||
dp |
Дифференциальное уравнение (22.26) является линейным относительно x. Решив его, получим общее решение в виде x = x(p, C).
Таким образом, интегральные кривые уравнения Лагран-
жа (22.23) параметрически определяются системой
{
x = x(p, C),
(22.27)
y = x(p, C)φ(p) + ψ(p).
При переходе от дифференциального уравнения (22.25) к дифференциальному уравнению (22.26) пришлось делить на
98
dxdp. При этом могут теряться решения, для которых p посто-
янно, а, значит, dxdp = 0. Считая p постоянным, получаем, что дифференциальное уравнение (22.25) удовлетворяется лишь в том случае, если p есть корень уравнения
p − φ(p) = 0. |
(22.28) |
Таким образом, если p = pi есть вещественные корни уравнения (22.28), то к найденным выше решениям (22.27) надо
добавить решения |
|
y = xφ(p) + ψ(p), p = pi, |
|
y = xφ(pi) + ψ(pi). |
(22.29) |
Отметим, что (22.29) есть прямые линии. |
|
6. Уравнение Клеро. |
|
Данное дифференциальное уравнение имеет вид |
|
x = xy′ + ψ(y′). |
(22.30) |
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
Положим y′ = p. Тогда y = xp + ψ(p). Дифференцируя это соотношение по x, получаем, что
p = p + xdxdp + ψ′(p)dxdp (x + ψ′(p))dxdp = 0.
Отсюда или dxdp = 0, а, значит p = C; или x + ψ′(p) = 0.
В первом случае получаем однопараметрическое семейство
y = Cx + ψ(C), |
(22.31) |
являющееся общим решением уравнения Клеро. Оно найдено без квадратур.
99
Во втором случае решение определяется в параметриче-
ском виде соотношениями |
|
x = −ψ′(p), |
(22.32) |
{ y = xp + ψ(p) = −pψ′(p) + ψ(p). |
|
Пример 22.4. Найдите общее решение дифференциального уравнения
(22.33)
Решение. Заменяя y′ на C, получаем общее решение дифференциального уравнения (22.33) в виде
y = Cx + C2.
Решение вида (22.32) имеет вид
y = −x2 .
4
100