Дифференциальные уравнения 2

дифференциального уравнения (16.2). На практике его можно найти, используя какие-либо из особенностей задания функций P и Q. Иногда его ищут в виде µ = µ(x) или в виде µ = µ(y). Тогда дифференциальное уравнение (16.2) для искомой функции µ упрощается.

Пример 16.1. Решите дифференциальное уравнение

2(x − y4)dy = ydx.

Решение. В данном случае P = y, Q = 2(y4 − x), ∂P∂y = 1 ≠ ∂Q∂x = −1. Нетрудно видеть, что y = 0 является решением нашего дифференциального уравнения. Пусть теперь y ≠ 0. Будем искать интегрирующий множитель в виде µ = µ(y). Из (16.1) имеем, что

−y∂µ∂y = 3µ.

Решением данного дифференциального уравнения служит, например, функция

1

µ = y3 .

После умножения исходного дифференциального уравнения

1

на y3 получаем уравнение в полных дифференциалах

()

Из первого уравнения имеем, что

x

u(x, y) = y2 + φ(y).

71

Подставляя u(x, y) во второе уравнение, получаем, что

φ′(y) = 2y,

откуда

φ(y) = y2 − C.

А поэтому все решения исходного дифференциального уравнения задаются формулами

yx2 + y2 = C, y = 0.

В некоторых случаях для решения дифференциальных уравнений (15.1) можно применять метод выделения полных диф-

ференциалов, используя известные формулы:

( )

и т.д.

Пример 16.2. Решите дифференциальное уравнение

ydx − (4x2y + x)dy = 0.

Решение. Нетрудно видеть, что x = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть x ≠ 0. Деля исходное дифференциальное уравнение на −x2, имеем, что

Последнее дифференциальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Оно имеет общее решение

xy + 2y2 = C.

72

Принимая во внимание случай x = 0, приходим к выводу, что все решения исходного дифференциального уравнения задаются формулами

xy + 2y2 = C, x = 0.

Если в дифференциальном уравнении (15.1) можно выделить полный дифференциал некоторой функции φ(x, y), то иногда данное дифференциальное уравнение упрощается, если от переменных (x, y) перейти к переменным (x, z) или

(z, y), где z = φ(x, y).

Пример 16.3. Решите дифференциальное уравнение

ydx − (x3y + x)dy = 0.

Решение. Нетрудно видеть, что x = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть x ≠ 0. Деля

исходное дифференциальное уравнение на −x2, имеем, что

( )

Переходя к переменным z = xy и y, получаем дифференциальное уравнение (У–4)

dz + y2 dy = 0, z

которое нетрудно решить, как являющееся дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (см. § 18)

(У–5).

73

§ 17. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Дифференциальным уравнением с разделенными переменными будем называть дифференциальное уравнение вида

где функция p(x) непрерывна на (a, b), функция q(y) непрерывна на (c, d), область a < x < b, c < y < d, не содержит особых точек дифференциального уравнения (17.1).

Если существует параметрическое решение x = φ(t), y = ψ(t), t I, дифференциального уравнения (17.1), то подставив его в это дифференциальное уравнение, получим тождество

Замечание 17.1. В теории дифференциальных уравнений

∫

символом вида f(x)dx, где f(x) есть заданная непрерывная функция на некотором промежутке, принято обозначать

фиксированную первообразную, в отличие от математическо-

∫

го анализа, где символ f(x)dx обозначает множество всех

первообразных функции f(x).

∫

Пусть P (x) = p(x)dx∫есть какая–либо первообразная функции p(x), а Q(y) = q(y)dy есть некоторая первообразная функции q(y). Тогда интегрирование тождества (17.2) приводит к соотношению

P (φ(t)) + Q(ψ(t)) = C, t I,

где C есть произвольная постоянная. Поэтому всякое параметрическое решение дифференциального уравнения (17.1) удовлетворяет соотношению

74

при некотором значении параметра C.

Нетрудно видеть, что если x = φ(t), y = ψ(t), t I, есть параметрическое задание гладкой кривой, удовлетворяющей на промежутке I уравнению (17.2) при некотором значении постоянной C, то оно определяет параметрическое решение при некотором значении дифференциального уравнения (17.1). Таким образом, если формула (17.3), где C есть произвольная постоянная, задает гладкую кривую при некотором значении C, то эта формула определяет некоторое параметрическое решение дифференциального уравнения (17.1) и содержит все параметрические решения этого дифференциального уравнения. В итоге приходим к выводу, что формула (17.3) определяет общий интеграл дифференциального уравнения (17.1).

Если необходимо найти интегральную кривую дифференциального уравнения (17.1), проходящую через точку (x0, y0), где x0 (a, b), y0 (c, d), то в силу формулы (17.3) такая кривая однозначно задается формулой

∫x ∫y

p(τ)dτ + q(η)dη = 0.

x0 y0

Пример 17.1. Решите уравнение

xdx + ydy = 0.

Решение. Применяя формулу (17.3), получаем общее решение исходного дифференциального уравнения

75

§ 18. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными будем называть дифференциальное уравнение вида

где функции p1(x) и p2(x) непрерывны на (a, b), а функции q1(y) и q2(y) непрерывны на (c, d), область G : a < x < b, c < y < d, не содержит особых точек дифференциального уравнения (18.1).

Если существует такое значение x0 (a, b), что p2(x0) = 0, то непосредственной проверкой убеждаемся, что x = x0 является решением дифференциального уравнения (18.1). Аналогичным образом убеждаемся, что если q1(y0) = 0 для некоторого значения y0 (c, d), то y = y0 также является решением дифференциального уравнения (18.1). Если же p2(x1) ≠ 0 и q1(y1) ≠ 0, то в некоторой окрестности точки (x1, y1) G дифференциальное уравнение (18.1) равносильно (т.е. у них одно и то же множество решений) уравнению с разделенными переменными

p1(x) dx + q2(y) dy = 0. p2(x) q1(y)

Теперь на основании формулы (17.3) получаем общий интеграл дифференциального уравнения (18.1) в окрестности точки (x1, y1) G:

Если интегральные кривые семейства (18.2) касаются одной из прямых x = x0 или y = y0, то путем объединения

76

частей кривых (18.2) и частей прямых x = x0 и y = y0 в точках касания, получаем множество новых, так называемых составных, решений дифференциального уравнения (18.1).

Пример 18.1. Решите дифференциальное уравнение y′ =

√

3 3 y2.

Решение. Используя соотношение dy = y′dx, из исходного дифференциального уравнения получаем дифференциальное

уравнение в симметричной форме

√

dy = 3 3 y2dx.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что y = 0 есть решение данного дифференциального уравнения. Предполагая, что y√≠ 0, разделим обе части дифференциального уравнения на 3 3 y2. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

dy

√ = dx.

3 3 y2

Отсюда находим, что √3 y = x + C или y = (x + C)3. Нетрудно проверить, что в точках (−C, 0) кривые y = (x + C)3 касаются прямой y = 0. В силу этого исходное дифференциальное уравнение, кроме решений

y = 0, y = (x + C)3,

имеет бесконечное множество составных решений, составленных из частей ранее полученных решений. Например, (см. рис. 18.1), это есть решения ABH, DBE, F GBE.

77

Рис. 18.1. Дифференциальное уравнение вида

y′ = f(ax + by + c),

где f(z) есть заданная непрерывная функция по своему аргументу на некотором промежутке, a, b, c есть заданные вещественные числа, a2 + b2 > 0, заменой z = ax + by + c приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (У–6)

z′ = a + bf(z).

Пример 18.2. Решите задачу Коши

√

y′ = 4x + 2y − 1, y(0) = 1.

Решение. После замены

z = 4x + 2y − 1

исходное дифференциальное уравнение примет вид

√

z′ = 4 + 2 z.

78

где C есть произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной y, получим формулу всех решений исходного диффе-

ренциального уравнения

√ √

x + C = 4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + 4x + 2y − 1).

Из начального условия находим, что

C = 1 − 2 ln 3.

Поэтому решение исходной задачи Коши задается формулой

√ √

x + 1 − 2 ln 3 = 4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + 4x + 2y − 1).

79

§ 19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

где p(x) и f(x) есть функции, непрерывные на (a, b), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если в дифференциальном уравнении (19.1) f(x) ̸≡0 на (a, b), то данное дифференциальное уравнение называется неоднородным, а если f(x) ≡ 0 на (a, b), – то

однородным.

Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Нетрудно видеть, что y = 0 является решением этого дифференциального уравнения. Если же y ≠ 0, то дифференциальное уравнение (19.2) эквивалентно дифференциальному урав-

нению

dy

y

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными, а его решения определяются

формулой

∫x

ln |y| = − p(τ)dτ + lnC1,

x0

где x0 и x принадлежат интервалу (a, b), а C1 есть произвольная положительная постоянная. Вводя вспомогательное

80