Дифференциальные уравнения 2

§ 8. Исследование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (7.1) и соответствующее ему однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (4.1). При этом будем считать, что функция f из дифференциального уравнения (7.1) непрерывна на некотором промежутке I. Обозначим через x = x(t; x0, . . . , xn−1) решение дифференциального уравнения (7.1) с начальными условиями x(k)(t0) = xk, k = 0, n − 1, t0 I.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 8.1. Если функция f m раз непрерывно дифференцируема, то решение x = x(t; x0, . . . , xn−1) дифференциального уравнения (7.1) n + m раз непрерывно дифференцируемо по своим аргументам на множестве определения.

Из данной теоремы, в частности, вытекает, что при приближенном вычислении решения дифференциального уравнения (7.1) в окрестности точки (t0, x0, . . . , xn−1) можно использовать приближенные значения x0, . . . , xn−1.

Наряду с решением x = x(t; x0, . . . , xn−1) дифференциального уравнения (7.1) рассмотрим решение с возмущенными

начальными значениями x = x(t; x0√+ ∆x0, . . . , xn−1 + ∆xn−1).

n∑−1

Введем условное обозначение ∆ =

k=0

Отклонением (друг от друга) решений x = x(t0, x0, . . . , xn−1) и x = x(t; x0 + ∆x0, . . . , xn−1 + ∆xn−1) будем называть

41

величину

∑n−1

ρ(t, ∆x0, . . . , ∆xn−1) = |x(k)(t; x0+∆x0, . . . , xn−1+∆xn−1)−

k=0

−x(k)(t0, x0, . . . , xn−1)|.

Решение x = x(t; x0, . . . , xn−1) дифференциального уравнения (7.1) будем называть непрерывно зависящим от начальных значений xk на промежутке I1 I, t0 I1, если

ε > 0, δ > 0 : ∆xk R, t I1, ∆ 6 δ

ρ(t, ∆x0, . . . , ∆xn−1) 6 ε.

Указанная непрерывная зависимость решений дифференциального уравнения (7.1) означает, что при достаточно малых возмущениях начальных значений отклонение решений на всем промежутке I1 можно сделать сколь угодно малым. Если решение x = x(t; x0, . . . , xn−1) непрерывно зависит от начальных данных на любом компактном промежутке I1

I, t0 I1, то его будем называть интегрально непрерывным на промежутке I. Имеет место утверждение.

Теорема 8.2. Пусть функция f непрерывна на промежутке I. Тогда решения дифференциального уравнения (7.1) интегрально непрерывны на I.

Далее будем считать, что I = [α, +∞). Решение x = x(t; x0, . . . , xn−1) дифференциального уравнения (7.1) будем называть устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (устойчивым), если оно непрерывно зависит от начальных значений xk на всем луче [s, +∞), α 6 s, т.е.

ε > 0, δ > 0 : ∆xk R, k = 1, n, t > s, ∆ 6 δ

ρ(t, ∆x0, . . . , ∆xn−1) 6 ε.

42

Устойчивость одного решения дифференциального уравнения (7.1) обеспечивает устойчивость и всех остальных решений этого уравнения. При этом будем говорить, что само

дифференциальное уравнение устойчиво.

Следующее утверждение показывает, что устойчивость дифференциального уравнения (7.1) равносильна устойчивости соответствующего однородного дифференциального уравнения (4.1).

Теорема 8.3. Дифференциальное уравнение (7.1) устойчиво тогда и только тогда, когда действительные части характеристических корней характеристического уравнения (4.4) неположительны и все характеристические числа с нулевой действительной частью имеют кратность, равную единице.

Доказательство данного утверждения проводится на основании связи общих решений дифференциальных уравнений (7.1) и (4.1) и аналитической структуре общего решения дифференциального уравнения (4.1).

Если решение дифференциального уравнения (7.1) устойчиво и при всех достаточно малых ∆xk выполняется ρ → 0 при t → +∞, то это решение будем называть асимптотически устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (асимптотически устойчивым). Асимптотическая устойчивость одного из решений дифференциального уравнения (7.1) обеспечивает асимптотическую устойчивость всех его решений, т.е. асимптотическую устойчивость дифференциального уравнения (7.1). Кроме того, асимптотическая устойчивость дифференциального уравнения (7.1) равносильна асимптотической устойчивости дифференциального уравнения (4.1).

Теорема 8.4. Для асимптотической устойчивости диф-

43

ференциального уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения (4.4) были отрицательны.

Доказательство теоремы 8.4 аналогично доказательству теоремы 8.3.

Следующее утверждение сводит исследование асимптотической устойчивости дифференциального уравнения (7.1) к выяснению знака действительных частей корней характеристического уравнения (4.4).

Теорема 8.5 (критерий Гурвица). Действительные части всех корней характеристического уравнения (4.4) отрицательны тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя n–го порядка

положительны (мы считаем, что aj = 0, если j < 0).

Замечание 8.1. Устойчивость дифференциального уравнения (7.1) означает, что достаточно малые возмущения начальных значений вызывают отклонения решений, лежащие в заданных сколь угодно тесных границах. Асимптотическая устойчивость, кроме того, обеспечивает погашение отклонения при t → +∞.

44

§ 9. Линейные системы дифференциальных уравнений.

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений будем называть линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнения. Однородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в нор-

мальной форме, имеет вид

x′ = a11(t)x1 + . . . + a1n(t)xn,

1

x′2 = a21(t)x1 + . . . + a2n(t)xn,

. . . . . . . . . . . . . . .

x′n = an1(t)x1 + . . . + ann(t)xn.

В дальнейшем будем предполагать, что aij(t) есть функции, непрерывные на (a, b), i = 1, n, j = 1, n.

Вводя условные обозначения

x = (x1, . . . , xn)T , A(t) = ||aij(t)||n×n,

где T есть операция транспонирования, однородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (9.1) запишем в векторной форме

Справедливо утверждение.

Теорема 9.1. У системы (9.1) с непрерывными на (a, b) коэффициентами aij(t), i = 1, n, j = 1, n, для любого начального условия

x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, . . . , xn(t0) = xn0, t0 (a, b), (9.3)

существует единственное решение задачи Коши (9.1), (9.3)

на (a, b).

45

столбцами которой являются координаты решений x1, . . . , xn. Если эти решения линейно независимы на (a, b), то матрицу (9.6) будем называть фундаментальной матрицей системы (9.2). Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

dXdt = A(t)X.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 9.3. Для любой матрицы (9.6) имеет место

формула Лиувилля-Остроградского

( ∫τ ) detX(t) = detX(t0) exp tr A(τ)dτ ,

t0

t0 (a, b), t (a, b),

где tr A есть след матрицы A : trA = a11 + a22 + . . . + ann. Теорема 9.4. Пусть x1, . . . , xn, есть решения на (a, b) си-

стемы (9.2). Тогда:

1)если определитель det X(t) отличен от нуля хотя бы

водной точке t0 (a, b), то решения x1, . . . , xn, линейно

независимы на t0 (a, b) и det X(t) ≠ 0, t (a, b);

2) если существует точка t0 (a, b), в которой det X(t) = 0, то решения x1, . . . , xn, линейно зависимы на t0 (a, b) и det X(t) = 0, t (a, b).

С помощью фундаментальной матрицы (9.6) общее реше-

где C = (C1, . . . , Cn)T .

Совокупность n линейно независимых решений x1, . . . , xn, системы (9.2) будем называть фундаментальной системой

47

решений этой системы. Положив в (9.7) t = t0, будем иметь

Матрицу

K(t, t0) = X(t)X−1(t0)

будем называть матрицей Коши. Тогда формула (9.8) дает решение задачи Коши (9.2), (9.3).

Неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в нор-

мальной форме, имеет вид

x′ = a11(t)x1 + . . . + a1n(t)xn + f1(t),

1

x′2 = a21(t)x1 + . . . + a2n(t)xn + f2(t),

. . . . . . . . . . . . . . .

x′n = an1(t)x1 + . . . + ann(t)xn + fn(t),

или в векторной форме

x′ = A(t)x + f(t),

где A(t) есть матрица системы (9.2), f(t) = (f1(t), . . . , fn(t))T есть вектор-столбец ее свободных членов, функции aij(t) и

fi(t) непрерывны на (a, b), i = 1, n, j = 1, n.

Теорема 9.5. Общее решение системы (9.10) представляет собой сумму частного решения x этой системы и общего решения x0 соответствующей ей однородной системы

48

Для неоднородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

как и в случае неоднородных линейных дифференциальных уравнений, имеет место принцип суперпозиции частных решений, в соответствии с которым частное решение системы (9.12) ищется в виде

∑k

x = xj ,

j=1

где xj есть частное решение системы

x′ = A(t)x + fj(t), j = 1, k.

Общим методом построения решений неоднородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.12) является метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Для его применения введем понятие интеграла для функциональной матрицы (9.6).

Интегралом от матрицы (9.6) будем называть матрицу

где t0 (a, b).

Предположим, что нам известна фундаментальная система решений x1, . . . , xn, однородной дифференциальной системы (9.2). Тогда ее общее решение имеет вид x = X(t)C. Далее мы полагаем, что

Ci = Ci(t), i = 1, n,

49