Дифференциальные уравнения 2

Для построения решений однородного линейного дифференциального уравнения (34.2) при произвольном n рассматривают линии, которые являются характеристиками и задаются дифференциальной системой в симметрической форме

Интегрирование квазилинейного дифференциального уравнения (34.1) может быть сведено к интегрированию вспомогательного однородного линейного уравнения с частными про-

в котором искомой функцией является функция v, зависящая от x1, . . . , xn, u. Если функция

v = Ψ(x1, . . . , xn, u)

есть решение дифференциального уравнения (34.11), то функция

u = u(x1, . . . , xn),

удовлетворяющая функциональному уравнению

является решением исходного дифференциального уравнения (34.1). В самом деле, дифференцируя тождество

Ψ(x1, . . . , xn, u(x1, . . . , xn)) = 0

171

−g(x1, . . . , xn, u) = 0,

т.е. решение u = u(x1, . . . , xn) функционального уравнения (34.12) есть решение квазилинейного дифференциального уравнения (34.1).

Отметим, что поскольку интегрирование однородного дифференциального уравнения (34.11) сводится к отысканию первых интегралов соответствующей дифференциальной систе-

то при построении решений квазилинейного дифференциального уравнения (34.1) его можно не приводить к виду (34.11).

172

где H есть произвольная дифференцируемая функция. Рассмотрим теперь квазилинейное дифференциальное урав-

нение (34.1) с начальным условием

Решением указанной начальной задачи является функция u = u(x1, . . . , xn), определяемая как решение функционального уравнения

U(Ψ1(x1, . . . , xn, u), . . . , Ψn(x1, . . . , xn, u))− −φ(X2(Ψ1(x1, . . . , xn, u), . . . , Ψn(x1, . . . , xn, u)), . . . , (34.16)

Xn(Ψ1(x1, . . . , xn, u), . . . , Ψn(x1, . . . , xn, u))) = 0,

где функции Ψ1, . . . , Ψn, образуют базис первых интегралов дифференциальной системы (34.14), а функции u = U(C1,

. . . , Cn), xi = Xi(C1, . . . , Cn), i = 2, n, определяются из си-

стемы функциональных уравнений

Ψ1(ξ, x2, . . . , xn) = C1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (34.17) Ψn(ξ, x2, . . . , xn) = Cn.

Всамом деле, переменные x2, . . . , xn, u, входят в левую часть соотношения (34.16) через интегралы Ψ1, . . . , Ψn дифференциальной системы (34.14). Поэтому функция u = u(x1, . . . , xn), определяемая соотношением (34.16), является решением дифференциального уравнения (34.1). Подставляя это решение в соотношение (34.16), получаем тождество, имеющее при

x1 = ξ вид

U(Ψ1(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn)), . . . ,

Ψn(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn)))− −φ(X2(Ψ1(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn)), . . . ,

174

Ψn(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn))), . . . , Xn(Ψ1(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn)), . . . , Ψn(ξ, x2, . . . , xn, u(ξ, x2, . . . , xn)))) = 0.

Отсюда на основании определения функций U, X2, . . . , Xn, из системы (34.17) получаем

U(C1, . . . , Cn) − φ(X2(C1, . . . , Cn), . . . , Xn(C1, . . . , Cn)) = 0,

то есть

u(ξ, x2, . . . , xn) = φ(ξ, x2, . . . , xn).

Поэтому функция u = u(x1, . . . , xn), являясь решением дифференциального уравнения (34.1), удовлетворяет также и начальному условию (34.15).

Таким образом, построение решения дифференциального уравнения (34.1), удовлетворяющего начальному условию (34.15), может быть проведено по следующей схеме:

1)находим базис первых интегралов дифференциальной системы в симметрической форме (34.14), соответствующей исходному квазилинейному дифференциальному уравнению (34.1);

2)составляем систему функциональных уравнений (34.17), которую разрешаем относительно переменных x2, . . . , xn, u;

3)составляем функциональное уравнение (34.16), решение u = u(x1, . . . , xn) которого является решением исходной начальной задачи;

4)выписываем (если возможно) уравнение (34.16) относительно функции u для получения аналитического выражения для решения.

175

§ 35. Уравнения Пфаффа.

Уравнение Пфаффа представляет собой обобщение дифференциального уравнения первого порядка в симметрической форме и в трехмерном случае имеет вид

где функции P, Q и R дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам на области G R3.

Интегралом уравнения Пфаффа (35.1) будем называть такую зависимость переменных x, y, z, при которой дифференциалы dx, dy, dz обращают уравнение (35.1) в тождество на области G. Если указанная зависимость представима в виде u(x, y, z) = 0 (или в параметрической форме x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)), то будем ее называть

двумерным интегралом или интегральной поверхностью уравнения Пфаффа (35.1). Если же интеграл уравнения Пфаффа (35.1) представим в виде системы соотношений

u(x, y, z) = 0, v(x, y, z) = 0

(или в параметрической форме x = x(t), y = y(t), z = z(t)), то будем ее называть одномерным интегралом или инте-

гральной кривой (линией) этого уравнения.

−→

Рассмотрим в пространстве Oxyz векторное поле F , определяемое коэффициентами уравнения Пфаффа (35.1):

−→ −→ −→ −→

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k .

Если (двумерный или одномерный) интеграл уравнения Пфаффа (35.1) задан векторным уравнением

−→ −→ −→ −→ −→ r = r (x, y, z) = x i + y j + z k ,

176

где dx, dy, dz в силу определения интеграла уравнения Пфаффа (35.1) вычислены с учетом существующей зависимости между переменными x, y, z. Поэтому уравнение Пфаффа (35.1) равносильно уравнению в векторной форме

Если Π есть интегральная поверхность уравнения (35.2),

−→

то векторное поле F в каждой точке этой поверхности орто-

гонально плоскости, касательной к Π в данной точке. Други-

ми словами, поверхность Π есть нормальная трансверсаль

−→

характеристик поля F .

Аналогично, если L есть интегральная линия уравнения

−→

(35.2), то в каждой точке этой линии векторное поле F орто-

гонально касательной линии к L в данной точке, то есть ли-

ния L есть нормальная трансверсаль характеристик поля

−→

F .

Верно и обратное: каждая нормальная трансверсаль харак-

−→

теристик поля F является интегральной поверхностью (линией) уравнения (35.2).

Для векторного поля

−→ −→ −→ −→

F = P i + Q j + R k

является необходимым для существования двумерных интегралов уравнения Пфаффа (35.1) на области G.

177

Доказательство. Пусть соотношение u(x, y, z) = 0 задает интегральную поверхность Π на области G. Поскольку вектор

(∂u∂x, ∂u∂y , ∂u∂z )

нормален к поверхности Π, то из соотношения (35.2) следует, что в любой точке (x, y, z) Π векторы

(∂u∂x, ∂u∂y , ∂u∂z )

и(P, Q, R) параллельны, т.е. существует такая скалярная функция µ(x, y, z), что

шанных производных функции u, приходим к соотношению (35.3). Теорема 35.1 доказана.

Условие (35.3) будем называть условием интегрируемости уравнения Пфаффа (35.1). В координатной форме оно

178

−→ −→

Если rotF = 0 , т.е.

то условие (35.4) заведомо выполнено. В этом случае будем говорить, что условие интегрируемости выполнено в усиленной форме. При этом, как известно из математического анализа, выражение

P dx + Qdy + Rdz

является полным дифференциалом некоторой функции и поэтому в односвязной области в силу (35.5) не зависящий от пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода

В общем случае из выполнения условия интегрируемости (35.3) следует существование такой функции µ(x, y, z), называемой интегрирующим множителем уравнения Пфаффа (35.1), что выражение

µP dx + µQdy + µRdz

является полным дифференциалом некоторой функции. В этом случае в односвязной области не зависящий от пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода

+µ(t, τ, θ)Q(t, τ, θ)dτ + µ(t, τ, θ)R(t, τ, θ)dθ

179

задает интегральную поверхность u(x, y, z) = 0 уравнения Пфаффа (35.1).

Пусть условие (35.3) выполнено и Π есть интегральная поверхность уравнения Пфаффа (35.1). Тогда любая линия L

на поверхности Π является интегральной линией уравнения

−→

Пфаффа (35.1), т.к. характеристики векторного поля F ортогональны поверхности Π , а поэтому и любой линии, расположенной на поверхности Π. Поэтому, если u(x, y, z) = 0 есть двумерный интеграл уравнения Пфаффа (35.1), то при любой функции v(x, y, z) система соотношений

u(x, y, z) = 0, v(x, y, z) = 0

(если только она определяет линии в пространстве R3) задает одномерный интеграл уравнения Пфаффа (35.1).

Рассмотрим теперь задачу нахождения одномерных интегралов уравнения Пфаффа (35.1) без предположения о выполнении условия (35.3). Пусть z = z(x, y) есть уравнение произвольной поверхности Π. Если интегральная линия L уравнения Пфаффа (35.1) расположена на Π, то одновременно выполняются соотношения

z = z(x, y), P dx + Qdy + Rdz = 0, dz = ∂x∂z dx + ∂y∂zdy.

Уравнение (35.8) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка в симметрической форме. Если φ(x, y) = 0 есть частный интеграл дифференциального уравнения (35.8), то линия L, определяемая соотношением φ(x, y) =

180