Дифференциальные уравнения 2

ными. Полученное противоречие и доказывает утверждение.

то все решения дифференциального уравнения (31.4) имеют бесконечное число нулей.

Доказательство теоремы 31.3 проводится путем сравнения дифференциального уравнения (31.4) с дифференциальным уравнением

x′′ + mx = 0, m > 0,

имеющим общее решение

√ √

x = C1 cos ( mt) + C2 sin ( mt).

Пример 31.3. Рассмотрим уравнение Бесселя в канонической форме

Поэтому в этом случае все решения уравнения Бесселя имеют бесконечное число нулей. Кроме того, при

0 6 ν 6 12

расстояние между последовательными нулями меньше π.

151

При

ν > 12

все решения также имеют бесконечное число нулей, причем расстояние между последовательными нулями больше π.

Так как

то расстояние между последовательными нулями стремится к π.

Условие (31.7), обеспечивающее существование бесконечного числа нулей у решений дифференциального уравнения (31.4), можно несколько ослабить.

Теорема 31.4. Если промежуток I = [a, +∞) и

∫+∞

Q(t) > 0, Q(τ)dτ = +∞,

x0

то все решения дифференциального уравнения (31.4) имеют бесконечное число нулей.

Пример 31.4. Все решения дифференциального уравне-

ния

x′′ + ω2 x = 0, t > 0, ω ≠ 0, tα

ω2

при α 6 1 имеют бесконечное число нулей, так как tα > 0 при t > 0 и

∫+∞ω2

τα dτ = +∞.

x0

152

§ 32. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера.

Уравнением Эйлера называют линейное дифференциальное уравнение

где ak, k = 0, n − 1, и α есть вещественные постоянные, а f есть непрерывная на I функция. Разделив на (t − α)n, имеем дифференциальное уравнение

Точка t = α является особой для дифференциального уравнения (32.2).

В дальнейшем будем полагать, что α ̸ I. Для определенности будем считать, что в качестве I взят один из лучей I+ = {t; t > α} или I− = {t; t < α} и что функция f непрерывна на I.

Произведем замену аргумента в дифференциальном уравнении (32.2) по формуле

считая либо t I+, либо t I− (кратко t I±). Луч t I± при замене (32.3) переходит в прямую

Iτ = (−∞, +∞).

Обратная замена

переводит Iτ в I+ или I− в зависимости от того, какой из знаков "+"или "−"используется в формуле (32.4).

153

Оператор дифференцирования по τ обозначим через Dτ . Используя теорему о дифференцировании сложной функции, устанавливаем связь между Dτ и обычным оператором D дифференцирования по t:

На основании (32.5) и метода математической индукции получаем утверждение.

Теорема 32.1. Замена (32.3) приводит дифференциальное уравнение Эйлера (32.1) на I± в равносильное автономное (стационарное) линейное дифференциальное уравнение

Замена (32.3) преобразует дифференциальное уравнение (32.7) к виду

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (32.8) имеет вид

и может быть получено подстановкой

x = eλτ

в дифференциальное уравнение (32.8) с последующим сокращением полученного выражения на общий множитель

eλτ ≠ 0.

154

Описанная процедура равносильна подстановке

x= |t − α|λ

вдифференциальное уравнение (32.7) с последующим сокращением на общий множитель

|t − α|λ ≠ 0, t I±,

что приводит к уравнению

λ(λ − 1) . . . (λ − n + 1)+

(32.10)

+an−1λ(λ − 1) . . . (λ − n + 2) + . . . + a0 = 0.

Таким образом, алгебраические уравнения (32.9) и (32.10) равносильны. Уравнение (32.10) называют определяющим для уравнения Эйлера (32.7). Используя определяющее уравнение (32.10), несложно получить дифференциальное уравнение (32.8), к которому приводится уравнение Эйлера (32.7).

Перенумеруем корни уравнения (32.9) так, чтобы сначала располагались r пар комплексно сопряженных комплексных корней

λ2l−1 = αl + iβl, λ2l = αl − iβl, l = 1, r,

а затем – вещественные корни

λj = µj, j = 2r + 1, m.

Полное решение дифференциального уравнения (32.8) представимо в виде

l=2r+1

где кратность корня λk равна dk, а Pk, Qk, Rk есть многочлены степени dk −1 с произвольными коэффициентами. Замена

155

аргумента (32.3) переводит общее решение дифференциального уравнения (32.8) в общее решение дифференциального уравнения (32.7).

Аналогичным образом на основании изученных ранее методов в §7 и §8 проводится интегрирование неоднородного уравнения Эйлера (32.7).

156

§ 33. Автономные системы.

Рассмотрим сначала автономную дифференциальную систему

с векторной правой частью f : G → Rn, удовлетворяющей условию Липшица по x на области G Rn, а поэтому непрерывной. При этом всякая задача Коши для дифференциальной системы (33.1) однозначно разрешима и решения интегрально непрерывны по начальным данным. Предположим, что все решения дифференциальной системы (33.1) бесконечно продолжимы в обе стороны. В дальнейшем будем рассматривать лишь продолженные решения.

Важное свойство дифференциальной системы (33.1) состоит в том, что сдвиг каждого решения x на произвольную постоянную c, т.е. функция x = x(t + c), также является решением этой дифференциальной системы. Далее решение x, удовлетворяющее начальному условию x(0) = ξ, будем обозначать как x = x(t; ξ).

Лемма 33.1 (о групповом свойстве).

x(t1; x(t2; ξ)) = x(t1 + t2; ξ), t1 R, t2 R, ξ G.

Доказательство. Функции

x1(t) = x(t; x(t2; ξ))

и

x2(t) = x(t + t2; ξ)

являются решениями дифференциальной системы (33.1), причем

x1(0) = x2(0).

157

На основании однозначной разрешимости задачи Коши получаем, что

x1(t) = x2(t), t R.

В частности,

x1(t1) = x2(t1),

т.е. имеет место соотношение из условия леммы. Лемма 33.1 доказана.

Пространство Rn называют фазовым пространством дифференциальной системы (33.1), если решения x этой системы изображаются на нем в виде линий

Направленную линию l, допускающую параметрическое задание в виде (33.2), называют траекторией (фазовым графиком) дифференциальной системы (33.1) или траекторией решения x. Положительной полутраекторией решения x называют направленную линию

l+ = {x(t)|t > 0}.

Аналогичным образом определяется отрицательная полутраектория l− решения x.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 33.1 (о траекториях). Две траектории дифференциальной системы (33.1) либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Теорема 33.2 (о решениях). Каждое решение x дифференциальной системы (33.1) удовлетворяет одному из следующих условий:

1)x(t1) ≠ x(t2) при t1 ≠ t2 (непериодическое решение);

2)существует T > 0, такое, что x(t + T ) = x(t), t R,

иx(t1) ≠ x(t2) при 0 < |t1 −t2| < T (периодическое решение);

158

3) x(t) = const, t R (стационарное решение). Траектории, отвечающие указанным в теореме 33.2 видам

решений, называют, соответственно: 1) незамкнутой, 2) замкнутой или циклом; 3) точкой покоя (состоянием равновесия). При этом отметим, что точка x G является точкой покоя тогда и только тогда, когда f(x) = 0.

Точку p Rn будем называть ω–предельной точкой решения x, если существует такая последовательность (tn) → +∞, что x(tn) → p. Множество всех ω–предельных точек решения x будем называть Ω–предельным множеством и обозначать Ωx. В частности, для постоянного решения x = ξ имеем Ωx = ξ. Для периодического решения x множество Ωx совпадает с траекторией движения x.

Пусть M и N есть непустые множества пространства Rn. Расстоянием между множествами M и N будем называть величину

теоремы Вейерштрасса об экстремальных значениях. Замкнутое множество M Rn будем называть связным,

если его нельзя представить в виде объединения двух непустых, замкнутых, непересекающихся множеств.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 33.3. Если положительная полутраектория решения x расположена в компактном множестве G0 G, то предельное множество Ωx является непустым, замкнутым и связным.

Теорема 33.4. Множество Ωx состоит из целых траекторий (т.е., если p Ωx, то и вся траектория lp, проходя-

159

щая через точку p, содержится в Ωx ).

Дальнейшее изучение предельного множества Ωx проведем для дифференциальной системы (33.1) в случае n = 2.

Пусть правая часть f : G → R2 дифференциальной системы (33.1) задана на области G R2.

Плоскую линию J называют жордановой, если

J = {φ(t), α 6 t 6 β},

где функция φ : [α, β] → R2 непрерывна, φ(α) = φ(β), и

φ(t1) ≠ φ(t2), α 6 t1 < t2 6 β. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 33.5 (Жордана). Если J есть плоская жорданова линия, то ее дополнение в плоскости состоит из объединения двух непересекающихся открытых множеств E1 и E2, причем границы ∂E1 = ∂E2 = J.

При этом одно из множеств Ek, k = 1, 2, ограничено и называется внутренностью линии J, а другое – внешностью линии J.

Теорема 33.6 (Пуанкаре–Бендиксона). Если положительная полутраектория l+ решения x содержится в компактном подмножестве области G и Ωx не содержит точек покоя, то множество Ωx является циклом.

Цикл, являющийся предельным множеством для некоторой отличной от него траектории, называют предельным.

Как мы рассматривали ранее, расположение фазовых графиков или траекторий решений линейных дифференциальных систем (33.1) на плоскости R2 определяется типом точки покоя. Значительно сложнее дело обстоит с нелинейными дифференциальными системами вида (33.1). Прежде всего усложняются возможные типы точек покоя. Помимо основных типов (узел, седло, фокус, центр), появляются так на-

160