Дифференциальные уравнения 2

§ 25. Существование и единственность решения задачи Коши.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных урав-

где функции fi : G → R непрерывны на области G Rn+1, i = 1, n. В векторном виде система (25.1) записывается следующим образом:

где x = (x1, . . . , xn)T , (t, x) = (t, x1, . . . , xn)T , f = (f1, . . . , fn)T . Напомним (§2), что решением дифференциальной системы (25.2) мы называем такую гладкую векторную функцию

и (t, x(t)) G, t I. Если, кроме того, x(t0) = x0, то функция x разрешает задачу Коши

Теорема 25.1 (интегральный критерий). Для того, чтобы функция x : I → Rn была решением задачи Коши (25.4), необходимо и достаточно выполнение векторного ин-

111

лом компактном множестве V ), то функция f удовлетворяет условию Липшица по x на V .

Теорема 25.2 (Пикара–Линделефа). Пусть функция f непрерывна на области G Rn+1 и удовлетворяет условию Липшица по x в некоторой окрестности U G точки (t0, x0). Тогда задача Коши (25.4) локально однозначно разрешима. При этом ее решение x определено, по крайней мере, на отрезке [t0 − h, t0 + h], h > 0 (где h достаточно мало), и может быть построено по методу последовательных приближений

k=1

113

§ 26. Сравнение решений и продолжимость.

На множестве G Rn+1 рассмотрим дифференциальную

Возьмем решение x : I → R дифференциальной системы (26.1). Каждое сужение x1 данного решения x на промежуток I1 I также является решением этой дифференциальной системы. При этом x будем называть продолжением решения x1. Если же решение x не служит сужением ни одного решения (т.е. если для любого решения x данной дифференциальной системы из x x следует x = x ), то решение x

будем называть непродолжаемым или продолженным.

Теорема 26.1. Каждое решение дифференциальной системы (26.1) является сужением хотя бы одного продолженного решения этой системы.

Далее будем рассматривать дифференциальную систему (26.1) в предположении, что G Rn+1 есть область.

Теорема 26.2 (критерий продолжимости решения).

Если вектор–функция f непрерывна на G, то для продолжимости решения x : (α, β) → Rn дифференциальной системы (26.1) вправо от β (влево от α) необходимо и достаточно,

(β, x(β − 0)) G (существовал правый предел x(α + 0) =

lim x(t) и (α, x(α + 0)) G)).

t→α+0

Будем говорить, что решение x : (α, β) → Rn дифференциальной системы (26.1) стремится к границе ∂G области G при t → β − 0, если для любого наперед заданного компактного подмножества G0 G существует β0, α < β0 < β, такое, что при всех t (β0, β) точка (t, x(t)) не принадлежит

G0.

114

Аналогичным образом определяется стремление решения x : (α, β) → Rn дифференциальной системы (26.1) стремится к границе ∂G области G при t → α + 0.

Теорема 26.3 (критерий непродолжимости решения).

Если вектор–функция f непрерывна на области G, то решение x : (α, β) → Rn дифференциальной системы (26.1) непродолжимо вправо (влево) тогда и только тогда, когда оно стремится к границе ∂G при t → β − 0 (при t → α + 0).

В частности, если область G ограниченная, то график непродолжимого решения целиком не лежит ни в одном замкнутом подмножестве из G.

Теорема 26.4 (теорема сравнения Чаплыгина). Пусть вещественные функции f1 и f2 определены в области G R2 и удовлетворяют неравенству

f1(t, x) < f2(t, x), (t, x) G.

Тогда, если функции x1[s, β] → R, x2[s, β] → R, являются, соответственно, решениями дифференциальных уравнений

и удовлетворяют условию x1(s) = x2(s), то

x1(t) < x2(t), t (s, β].

Теорема 26.5 (о промежутке существования непродолжимого решения). Пусть вектор–функция f непрерывна в полосе G =< α, β > ×Rn и удовлетворяет неравенству

|f(t, x)| < Φ(|x|), (t, x) G,

где вещественная функция Φ непрерывна, Φ > 0, если u > 0

115

и

определено на промежутке < α, β >.

В частности, если вектор–функция f непрерывна в полупространстве t > t0 пространства Rn+1 и удовлетворяет нера-

венству

|f(t, x)| 6 M|x|, t > t0, x Rn,

то всякое решение дифференциальной системы (26.1) продолжимо на бесконечный промежуток [t0, +∞).

Рассмотрим вещественную дифференциальную систему

с непрерывными по t на I =< α, β > матричной функцией A и векторной функцией f.

Нетрудно видеть, что для произвольного отрезка [a, b] I существует постоянная M > 0 такая, что

|A(t)x + f(t)| 6 M(|x| + 1), t [a, b], x Rn.

Из теоремы о промежутке существования непродолжимого решения следует, что всякое решение линейной дифференциальной системы (26.3), определенное при t = t0, t0 [a, b], продолжимо на отрезок [a, b].

И на основании произвола в выборе отрезка [a, b] I заключаем, что всякое решение линейной дифференциальной системы продолжимо на промежуток I задания данной дифференциальной системы.

116

В заключение отметим, что продолжимость всех решений линейной дифференциальной системы с непрерывными коэффициентами на промежуток задания дифференциальной системы является характерным свойством линейных дифференциальных систем. Нетрудно привести пример нелинейной дифференциально системы, у которой непродолжимые решения имеют разные множества задания (У–13).

117

в каждой точке области G0.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 27.2. Пусть матрица Df(t, x) непрерывна на

Dx

области G. Тогда:

1)в некоторой окрестности точки (t0, x0) существуют n независимых первых интегралов системы (26.1);

2)если H1, . . . , Hn есть независимые первые интегралы системы (26.1), определенные в некоторой окрестности точки (t0, x0) G, то система

(H1(t, x), . . . , Hn(t, x)) = (H1(t0, x0), . . . , Hn(t0, x0)) (27.3)

имеет единственное решение y = φ(x), являющееся решением задачи Коши (25.4).

Определение 27.3. Если H1, . . . , Hn : G0 → R есть независимые первые интегралы, то соотношение

H1(t, x) = C1, . . . , Hn(t, x) = Cn

будем называть общим интегралом системы (26.1) на области G0.

Согласно утверждению 2 теоремы 27.2 общий интеграл определяет как неявную функцию любое решение системы (26.1) на области G0. Для получения же общего интеграла достаточно разрешить формулу общего решения относительно произвольных постоянных.

Теорема 27.3 (об интегрируемой комбинации). Пусть выражение

φ1dx1 + . . . + φndxn

является полным дифференциалом некоторой функции Φ и пусть

φ1f1 + . . . + φnfn = 0, (t, x) G.

119

Тогда Φ : G → R есть первый интеграл системы (26.1).

Доказательство. Так как

dΦ = φ1dx1 + . . . + φndxn,

то

∂Φ

∂xk = φk, k = 1, n.

Поэтому

Теперь на основании теоремы 27.1 приходим к нашему утверждению.

Рассмотрим теперь автономную систему

будем называть системой в симметричной форме. Отметим, что система (27.5) описывает геометрические свойства решений системы (27.4). Каждое дифференциальное уравне-

ние

dxk = dt, k = 1, n, fk(x)

выявляет характер параметризации интегральных кривых. Для представления неавтономной системы (26.1) в симметрической форме необходимо сначала перейти к соответствующей ей автономной системе (как мы указывали ранее).

120