Дифференциальные уравнения 2

На основании свойств (3.7) и (3.8) линейного дифференциального оператора L[x] имеем такое утверждение.

Свойство 3.3. Пусть x1(t) и x2(t) есть решения дифференциального уравнения L[x] = 0. Тогда:

1)сумма x1(t) + x2(t) есть решение дифференциального уравнения L[x] = 0;

2)для любо постоянной C и любого решения x(t) дифференциального уравнения L[x] = 0 произведение Cx(t) также есть решение этого дифференциального уравнения.

Следствие 3.2. Линейная комбинация

∑m

Ckxk(t)

k=1

с постоянными коэффициентами Ck решений xk(t), k = 1, m, дифференциального уравнения L[x] = 0 является решением этого же дифференциального уравнения.

Свойство 3.4. Если x1(t) и x2(t) есть решения неоднородного дифференциального уравнения L[x] = g(t), то разность x1(t) − x2(t) есть решение однородного дифференциального уравнения L[x] = 0.

Доказательство данного утверждения вытекает из цепочки соотношений

L[x1(t) − x2(t)] = L[x1(t)] − L[x2(t)] ≡ g(t) − g(t) ≡ 0.

Свойство 3.5. Если комплекснозначная функция вещественного переменного x(t) = u(t) + iv(t), i2 = −1, есть

11

решение однородного дифференциального уравнения L[x] = 0, то действительная часть u(t) и мнимая часть v(t) решения x являются решениями этого дифференциального уравнения.

Доказательство данного утверждения вытекает из импликации

L[u + iv] = L[u] + iL[v] ≡ 0 L[u] ≡ 0 и L[v] ≡ 0.

Нетрудно видеть, что линейное дифференциальное уравнение L[x] = 0 всегда имеет тривиальное решение x ≡ 0. Из свойства 3.3 имеем: множество решений линейного однородного дифференциального уравнения L[x] = 0 образует линейное (векторное) пространство, нулем которого является функция x ≡ 0. Это пространство будем называть пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения L[x] = 0. Отсюда следует, что для нахождения любого решения в этом пространстве нужно определить базис пространства решений, т.е. найти линейно независимые решения (векторы), через которые линейным образом выражается это решение данного дифференциального уравнения.

Совокупность n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n–го порядка L[x] = 0 будем называть фундаментальной системой решений.

Пусть система функций x1(t), . . . , xn(t) определена на некотором интервале (a, b). Будем говорить, что эта система линейно зависима на (a, b) по t, если существуют постоянные α1, . . . , αn, такие, что на (a, b) имеет место тождество

причем хотя бы одно из чисел α1, . . . , αn, отлично от нуля. Если же это тождество имеет место только при α1 = . . . = αn =

12

0, то будем говорить, что система функций x1(t), . . . , xn(t)

линейно независима на (a, b).

Определяющую роль при выяснении линейной зависимости или линейной независимости n − 1 раз непрерывно дифференцируемой на (a, b) системы функций x1(t), . . . , xn(t) иг-

мые на (a, b) функции x1(t), . . . , xn(t), линейно зависимы, то

W (t) = 0, t (a, b).

Следствие 3.3. Если хотя бы в одной точке t0 (a, b) вронскиан W (t0) ≠ 0, то функции x1(t), . . . , xn(t), линейно независимы на (a, b).

Теорема 3.3. Пусть x1(t), . . . , xn(t), есть частные решения линейного однородного дифференциального уравнения L[x] = 0. Тогда:

1) если существует точка t0 (a, b), в которой вронскиан W (t0) = 0, то решения x1(t), . . . , xn(t), линейно зависимы на

(a, b) и W (t) = 0, t (a, b);

2) если вронскиан W (t) отличен от нуля хотя бы в одной точке t0 (a, b), то решения x1(t), . . . , xn(t), линейно независимы на (a, b) и W (t) ≠ 0, t (a, b).

Следующее утверждение устанавливает структуру общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n–го порядка.

Теорема 3.4. Всякое линейное однородное дифференциальное уравнение L[x] = 0 имеет на интервале (a, b) ровно n ли-

13

нейно независимых решений x1(t), . . . , xn(t). Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

∑n

k=1

где Ck, k = 1, n, есть произвольные постоянные.

14

§ 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения n–го порядка с постоянными коэффициентами.

где ak, k = 0, n − 1, есть вещественные числа, будем называть

линейным однородным дифференциальным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Оно кратко записывается в виде

L[x] = 0,

где линейный дифференциальный оператор

L[x] = x(n) + an−1x(n−1) + . . . + a0x.

Как мы выяснили в предыдущем параграфе, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения (4.1), надо найти его n линейно независимых частных решений. Будем искать эти частные решения в виде

где λ есть некоторое пока неизвестное число (вообще говоря, комплексное).

Последовательно дифференцируя функцию (4.2), получаем

Подставив выражения (4.2) и (4.3) в уравнение (4.1), получаем соотношение

eλt(λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0) = 0,

15

будем называть характеристическим многочленом, соответствующим линейному дифференциальному оператору L[x], или просто характеристическим многочленом дифференциального уравнения (4.1).

Таким образом, функция eλt тогда и только тогда является частным решением дифференциального уравнения (4.1), когда λ есть корень уравнения (4.4), называемого характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (4.1). Отметим, что характеристическое уравнение получается из дифференциального уравнения (4.1) простым образом: надо в дифференциальном уравнении (4.1) заменить все производные искомой функции x на соответствующую степень числа λ, т.е. производная x(n) заменяется на λk, при этом x заменяется на 1.

Пример 4.1. Для дифференциального уравнения

x′′′′ − 3x′′′ + 2x′′ − 7x′ + 8x = 0

характеристическое уравнение имеет вид

λ4 − 3λ3 + 2λ2 − 7λ + 8 = 0.

Итак, для нахождения частного решения дифференциального уравнения (4.1) в виде x = eλt нужно составить характеристическое уравнение (4.4) и найти его корни λ1, . . . , λn. Каждому такому корню λk соответствует частное решение xk = eλkt, k = 1, n. При этом возможны следующие случаи:

16

Пример 4.3. Решите задачу Коши

x′′′ − 2x′′ − 3x′ = 0, x(0) = 0, x′(0) = 1, x′′(0) = 11. (4.7)

Решение. Характеристическое уравнение

λ3 − 2λ2 − 3λ = 0

исходного дифференциального уравнения имеет корни λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

x = C1 + C2e−t + C3e3t.

Отсюда

x′ = −C2e−t + 3C3e3t, x′′ = C2e−t + 9C3e3t.

На основании начальных условий задачи Коши (4.7) получа-

−C2 + 3C3 = 1, C2 = 2,

=11; = 1.C2 + 9C3 C3

Таким образом, решением задачи Коши (4.7) является функ-

ция

x = −3 + 2e−t + e3t.

Случай 2. Пусть среди различных корней характеристического уравнения (4.4) имеется комплексный простой корень λ = α+iβ, β ≠ 0. Так как коэффициенты характеристического уравнения (4.4) есть вещественные числа, то сопряженное комплексное число λ = α − iβ также является его корнем. Согласно (4.2) корню λ = α + iβ соответствует комплекснозначное решение

x = e(α+iβ)t = eαteiβt,

18

Аналогичным образом приходим к выводу, что характеристическому корню λ = α − iβ соответствует решение

комплексно сопряженное с решением (4.8). По свойству 3.5 приходим к выводу, что вещественные функции

являются частными решениями дифференциального уравнения (4.1). Непосредственно проверяем, что вронскиан этих

функций

W [x1, x2] = βe2αt ≠ 0,

т.е. функции (4.10) линейно независимы.

Нетрудно видеть, что комплексно сопряженному с (4.8) решению (4.9) соответствует та же пара (с точностью до множителя −1) вещественных решений (4.10).

Итак, мы получили, что паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (4.4) соответствует пара вещественных решений (4.10). Их линейная комбинация

также будет частным решением дифференциального уравнения (4.1). Это позволяет на основании теоремы 3.4 строить общее решение дифференциального уравнения (4.1).

Пример 4.4. Найдите общее решение дифференциального уравнения

19

Решение. Характеристическое уравнение

λ5 −5λ4 + 8λ3 + 8λ2 + 7λ+ 13 = (λ+ 1)(λ2 + 1)(λ2 −6λ+ 13) = 0

имеет один вещественный корень λ1 = −1 и две пары комплексно сопряженных корней λ2,3 = ±i, λ4,5 = 3 ± 2i. Этим корням соответствуют частные решения

x1 = e−t, x2 = cos t, x3 = sin t, x4 = e3t cos 2t, x5 = e3t sin 2t.

На их основании строим общее решение дифференциального уравнения (4.12) в виде

x = C1e−t + C2 cos t + C3 sin t + C4e3t cos 2t + C5e3t sin 2t.

Случай 3. Пусть теперь λ есть корень характеристического уравнения (4.4) кратности k. Это означает выполнение условий

Этому k–кратному корню соответствует частное решение x = eλt дифференциального уравнения (4.1). Для получения фундаментальной системы решений этого дифференциального уравнения необходимо найти еще k − 1 частных решений, линейно независимых между собой и с частным решением x = eλt. Можно показать, что такими являются k − 1 функ-

ций (У–2)

teλt, t2eλt, . . . , tk−1eλt.

Итак, если λ есть корень кратности k характеристического уравнения (4.4), то частными решениями дифференциального уравнения (4.1) являются k линейно независимых функций

20