Дифференциальные уравнения 2

где

ψt0(t) = ψ−1(t0)ψ(t), gt0(t) = ψ−1(t0)(g(t) − g(t0)), ξt0 = ψ−1(t0)(ξ − g(t0)).

Это позволяет, не нарушая общности, рассматривать лишь общие и полные интегралы, нормированные при t = t0, т.е. считать, что g(t0) = 0 и ψ(t0) = I.

Наряду с системой (12.2) рассмотрим соответствующую ей однородную систему

Теорема 12.1. Совокупность линейных форм lj(x1, . . . ,

xn), j = 1, n, образует нормированный при t = t0 полный интеграл системы (12.2) тогда и только тогда, когда матрица ψ(t) = ||ψij(t)||n×n является фундаментальной нормированной при t = t0 матрицей системы (называемой сопряженной системе (12.2))

t0

Кроме того, отметим, что разрешение системы (12.2) равносильно построению ее полного интеграла.

61

§ 13. Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

где A есть постоянная квадратная матрица порядка n, f(t) есть непрерывная на I R вектор–функция, x Rn. Отклонением решений x(t; x0) и x(t; x0 + ∆x) будем называть величину

Отклонение не зависит от функции f и определяется только матрицей A и приращением ∆x. Поэтому при исследовании устойчивости неоднородных систем можно рассматривать только линейные системы

Если I = [t0, +∞) и

ε > 0, δ = δ(ε) : t I, ||∆x|| 6 δ ρ(t; ∆x) 6 ε, (13.5)

то решение x(t; x0) системы (13.1) будем называть устойчивым по Ляпунову.

Решение x(t; x0) системы (13.1) будем называть асимптотически устойчивым, если:

1)оно устойчиво по Ляпунову;

2)δ > 0, ∆x : ||∆x|| 6 δ lim ρ(t; ∆x) = 0.

t→+∞

62

Устойчивость (асимптотическая устойчивость) одного из решений линейной системы влечет за собой устойчивость (асимптотическую устойчивость) всех его решений, т.е. устойчивость (асимптотическую устойчивость) самой системы. Так как ρ(t; ∆x) не зависит от f, то устойчивость (асимптотическая устойчивость) неоднородной линейной системы эквивалентна устойчивости (асимптотической устойчивости) однородной линейной системы, соответствующей неоднородной.

Теорема 13.1. Для устойчивости системы (13.1) необходимо и достаточно, чтобы Re λj 6 0, j = 1, n, где λj есть собственные значения матрицы A, причем тем собственным значениям λj, для которых Re λj = 0, соответствуют простые элементарные делители.

Теорема 13.2. Для асимптотической устойчивости системы (13.1) необходимо и достаточно выполнение неравенств Re λj < 0, j = 1, n, где λj есть собственные значения матрицы A. Последнее равносильно тому, чтобы характеристический многочлен матрицы A был гурвицевым (теорема 8.5).

63

§ 14. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной форме.

Определение 14.1. Дифференциальное уравнение

где функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны на области G, будем называть дифференциальным уравнением первого порядка в симметричной форме.

Дифференциальное уравнение (14.1) является обобщением дифференциального уравнения вида (2.2). В самом деле, с учетом соотношения dy = y′dx, при P (x, y) ≡ f(x, y), Q(x, y) ≡ −1, из дифференциального уравнения (14.1) получаем дифференциальное уравнение вида (2.2) . Отметим, что переменные x и y в дифференциальном уравнении (14.1) участвуют

равноправно.

Определение 14.2. Точку (x0, y0) G будем называть особой для дифференциального уравнения (14.1), если

P(x0, y0) = Q(x0, y0) = 0.

Вдальнейшем в данном параграфе будем полагать, что на

области G у дифференциального уравнения (14.1) нет особых точек.

Для дифференциального уравнения (14.1) нетрудно ввести понятия, аналогичные определениям из § 2. При этом отметим, что в силу симметричности вхождения переменных x и y в данное дифференциальное уравнение его решения можно искать как в виде y = φ(x), x I, так и в виде x = ψ(y), y J.

Определение 14.3. Вектор–функцию x = ξ(t), y = η(t),

определенную на промежутке I R, будем называть параметрическим решением дифференциального уравнения

(14.1), если:

64

1)функции ξ(t) и η(t) являются гладкими (непрерывно дифференцируемыми) на I и |ξ′(t)| + |η′(t)| > 0 на I;

2)(ξ(t), η(t)) G, t I;

3)P (ξ(t), η(t))ξ′(t) + Q(ξ(t), η(t))η′(t) = 0, t I.

Определение 14.4. Кривую в области G, являющуюся гладким образом промежутка I при отображении (ξ(t), η(t)),

будем называть параметрической интегральной кривой

дифференциального уравнения (14.1).

Пусть ξ′(t0) ≠ 0 для некоторого t0 I. Тогда существует интервал (t0 − δ, t0 + δ), δ > 0, на котором функция x = ξ(t) имеет обратную функцию t = ξ−1(x). Поэтому кусок параметрической интегральной кривой, соответствующей изменению переменной t на интервале (t0 − δ, t0 + δ), определяется уравнением y = {(x) ≡ η(ξ−1(x)). Если же η′(t1) ≠ 0 для некоторого t1 I, то найдется интервал (t1 − δ1, t1 + δ1), δ1 > 0, на котором y = η(t) имеет обратную функцию t = η−1(y), и тогда кусок параметрической интегральной кривой, соответствующей t (t1 − δ1, t1 + δ1), определяется уравнением

x= ω(y) ≡ ξ(η−1(y)).

Витоге мы получили, что параметрическая интегральная кривая дифференциального уравнения (14.1), в отличие от интегральной кривой дифференциального уравнения вида (2.2), представляет собой гладкую кривую, отдельные куски которой задаются или функцией вида y = {(x), или функцией вида x = ω(y). Поэтому дифференциальное уравнение (14.1) допускает как решения вида y = {(x), так и решения вида x = ω(y), заданных явно, неявно или параметрически.

Вчастности, из определения параметрического решения дифференциального уравнения (14.1) при x = t получаем решение вида y = φ(x), а при y = t получаем решение вида

x= ψ(y).

65

§ 15. Уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме

ны на некоторой области G плоскости R2 и область G не содержит особых точек дифференциального уравнения (15.1).

Определение 15.1. Дифференциальное уравнение (15.1)

будем называть уравнением в полных дифференциалах, если существует такая однозначная непрерывно дифференцируемая на области G функция u(x, y), что на этой области

du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y) G.

Пусть дифференциальное уравнение (15.1) является уравнением в полных дифференциалах. Если x = φ(t), y = ψ(t), t I, есть некоторое параметрическое решение этого дифференциального уравнения, то

du[φ(t), ψ(t)] = P [φ(t), ψ(t)]dφ(t)+

+Q[φ(t), ψ(t)]dψ(t) = 0, t I.

Поэтому u[φ(t), ψ(t)] = C, t I. Очевидно и обратное: если u[φ(t), ψ(t)] = C, t I, то соотношение x = φ(t), y = ψ(t), t I, задает параметрическое решение дифференциального уравнения (15.1).

Итак, мы получили, что соотношение

u(x, y) = C,

66

где C есть произвольная постоянная, содержит все решения уравнения в полных дифференциалах. При этом интегральная кривая уравнения в полных дифференциалах, проходящая через точку (x0, y0), единственным образом определяется формулой

u(x, y) = u(x0, y0).

Поставим теперь задачу: как по коэффициентам P (x, y) и Q(x, y) установить, является ли дифференциальное уравнение (15.1) уравнением в полных дифференциалах. Пусть u(x, y) есть дважды непрерывно дифференцируемая на области G функция. Тогда если дифференциальное уравнение (15.1) есть уравнение в полных дифференциалах, то на этой

Далее в силу равенства смешанных частных производных дважды непрерывно дифференцируемых функций получаем необходимое условие того, что дифференциальное уравнение (15.1) является уравнением в полных дифференциалах:

Если область G является односвязной, то в курсе математического анализа доказывается, что условие (15.3) является и достаточным. При этом функция u(x, y) находится из системы уравнений (15.2) или с помощью криволинейных интегралов второго рода.

67

Замечание 15.1. Тот факт, что дифференциальное уравнение (15.1) является уравнением в полных дифференциалах, означает, что векторное поле (P (x, y), Q(x, y)) является потенциальным на области G, а функция u(x, y) является потенциалом этого векторного поля. Поэтому функцию u(x, y) называют потенциалом дифференциального уравнения (15.1).

Пример 15.1. Решите дифференциальное уравнение

2xy3dx + 3(x2y2 + y2 − 1)dy = 0.

Решение. В данном случае P (x, y) = 2xy3, Q(x, y) = 3(x2y2 +y2 −1) есть непрерывно дифференцируемые функции на всей плоскости R2, являющейся односвязной областью. Поэтому можно использовать достаточное условие (15.3). Вычисляя соответствующие частные производные, получаем, что

Значит, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его потенциал u(x, y) находим из системы дифференциальных уравнений

∂u∂x = 2xy3, ∂u∂y = 3(x2y2 + y2 − 1).

Из первого дифференциального уравнения получаем, что

u(x, y) = x2y3 + φ(y),

где φ(y) есть произвольная непрерывно дифференцируемая функция на оси y. Ее находим подстановкой найденного выражения для u(x, y) во второе дифференциальное уравнение:

3x2y2 + φ′(y) = 3(x2y2 + y2 − 1).

68

Отсюда

φ′(y) = 3(y2 − 1),

и поэтому

φ(y) = y3 − 3y + C.

В итоге получаем, что все решения исходного дифференциального уравнения определяются формулой

x2y3 + y3 − 3y = C,

где C есть произвольная постоянная.

69

§16. Интегрирующий множитель.

Впрошлом параграфе установлено, что всякое уравнение в полных дифференциалах интегрируемо в квадратурах. Рассмотрим вопрос: можно ли произвольное дифференциальное уравнение в симметрической форме (15.1) свести к уравнению

вполных дифференциалах путем домножения его на некоторую функцию µ(x, y)?

Рассмотрим дифференциальное уравнение (15.1), для кото-

рого на области G R2 выполняется неравенство: ∂P∂y ≠ ∂Q∂x .

Определение 16.1. Непрерывно дифференцируемую и не обращающуюся в нуль на области G функцию µ(x, y) будем называть интегрирующим множителем дифференциального уравнения (15.1), если дифференциальное уравнение

µ(x, y)(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = 0

является уравнением в полных дифференциалах на этой области.

Если для дифференциального уравнения (15.1) существует интегрирующий множитель µ(x, y), то в силу (15.3) он дол-

Оно дает для функции µ дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Интегрирование данного уравнения не проще, чем интегрирование исходного дифференциального уравнения (15.1). Однако нас будет интересовать лишь какое-либо одно решение

70