Дифференциальные уравнения 2

§ 23. Огибающие и C–дискриминантные кривые.

Из геометрического смысла дифференциального уравнения вида (2.2) вытекает, что его интегральная кривая в каждой своей точке имеет касательную с направлением векторного поля, порожденного этим уравнением. Это означает, что все интегральные кривые (если они существуют), проходящие через данную точку, должны касаться друг друга.

Определение 23.1. Решение дифференциального уравнения (22.1) будем называть особым, если в каждой его точке нарушается единственность решения.

Это означает, что через каждую точку решения, кроме этого решения, проходит и другое решение (другая интегральная кривая).

Определение 23.2. График особого решения дифференциального уравнения (22.1) будем называть особой интегральной кривой этого уравнения.

Геометрически особое решение дифференциального уравнения есть огибающая L семейства интегральных кривых данного уравнения, определяемого его общим интегралом

Φ(x, y, C) = 0.

Другими словами, огибающей линией L семейства кривых Φ(x, y, C) = 0 называется линия, которая в каждой своей точке касается какой-нибудь из кривых семейства, причем в различных точках она касается разных кривых этого семейства (рис. 23.1).

101

r

Рис. 23.1.

Пусть L есть огибающая семейства кривых Φ(x, y, C) = 0, заданная параметрически в виде x = x(t), y = y(t), t I.

огибающей в данной точке (x, y), а, значит, и по касательной к кривой семейства Φ(x, y, C) = 0, проходящей через эту точку. Пусть точка (x, y) L принадлежит одновременно и кривой семейства, для которой постоянная C = C0. Тогда

При изменении параметра t точка (x, y) огибающей перемещается по ней, переходя с одной кривой семейства Φ(x, y, C) = 0 на другую, т.е. при такой смене кривых постоянная C в общем интеграле дифференциального уравнения является функцией C = C(t). Поэтому вдоль огибающей выполнено равенство

Φ′(x(t), y(t), C(t)) = 0,

откуда

∂∂xΦx′(t) + ∂∂yΦy′(t) + ∂C∂Φ C′(t) = 0.

102

Поэтому с учетом (23.1) имеем ∂C∂Φ = 0.

Таким образом, если семейство кривых Φ(x, y, C) = 0 имеет

Определение 23.3. Кривую, удовлетворяющую системе

(23.2), будем называть C–дискриминантной кривой. Условие (23.2) является необходимым условием существо-

вания огибающей семейства Φ(x, y, C) = 0, т.е. если это семейство имеет огибающую, то ее уравнение задается системой (23.2). Однако если решить эту систему, то ее решение не обязательно доставляет огибающую.

Пример 23.1. Найдите особые решения дифференциаль-

зная его общий интеграл

x2 = C(y − C).

Решение. Сначала найдем C–дискриминантную кривую. Имеем:

C(y − C) − x2 = 0, y − 2C = 0, C = −y2.

Подставив данное значение C в общий интеграл дифференциального уравнения (23.3), получаем (У–12), что

y = ±2x.

Таким образом, C–дискриминантными кривыми являются две прямые: y1 = 2x и y2 = −2x. Проверим, являются ли эти функции особыми решениями дифференциального уравнения (23.3), т.е. огибающими семейства кривых C(y − C) = x2.

103

Для этого сначала проверим соотношения

y = y1, y′ = y1′ ,

где

y = x2 + C C

есть кривая рассматриваемого семейства. Имеем:

x2

y = y1 C + C = 2x C = x.

Далее имеем:

y′ = 2Cx, y1′ = 2.

Отсюда при C = x получаем y′ = y1′ , т.е. в самом деле прямая y1 = 2x есть огибающая рассматриваемого семейства. Аналогично проверяем, что y2 = −2x также есть огибающая.

104

§ 24. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим некоторые классы дифференциальных уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Дифференциальное уравнение вида y(n) = f(x).

Будем считать, что в данном дифференциальном уравнении функция f непрерывна на (a, b). Интегрируя последовательно

данное дифференциальное уравнение, получаем:

∫

y(n−1) = f(x)dx + C1;

∫ ∫

y(n−2) = ( f(x)dx)dx + C1x + C2;

0. Если данное дифференциальное уравнение удается разрешить в элементарных функциях относительно y(n), то мы получим одно или несколько уравнений из предыдущего пункта. Проинтегрировав все эти уравнения, найдем общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пусть исходное дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно y(n), допускает параметрическое пред-

В этом случае можно найти общее решение в параметрической форме.

105

Так как переменная x выражена через параметр t, то задача сводится к проблеме выражения y через t. Согласно (24.1) имеем:

dy(n−1) = y(n)dx = ψ(t)φ′(t)dt

∫

y(n−1) = ψ(t)φ′(t)dt ≡ ψ1(t, C1).

Аналогично находится выражение для y(n−2). Продолжив этот процесс далее, для переменной y получим выражение вида

y = ψn(t, C1, . . . , Cn).

Поэтому

Уравнения (24.2) называются общим решением исходного дифференциального уравнения в параметрической форме.

3. Дифференциальное уравнение, не содержащее искомой функции. Данное дифференциальное уравнение имеет вид

Оно является частным случаем дифференциального уравнения

Рассмотрим интегрирование дифференциального уравнения (24.4).

Выполним замену y(k) = z = z(x). Тогда

y(k+1) = z′, y(k+2) = z′′, . . . , y(n) = z(n−k),

и дифференциальное уравнение (24.4) сводится к дифференциальному уравнению

F (x, z, z′, . . . , z(n−k)) = 0,

106

порядок которого равен n − k. Решив его, найдем функцию z(x) = y(k), т.е. получим дифференциальное уравнение из первого пункта, вопрос об интегрировании которого решен.

4. Дифференциальное уравнение, не содержащее независимой переменной. Данное дифференциальное уравнение имеет вид

Покажем, что замена y′ = p, где p = p(y), понижает порядок этого дифференциального уравнения на единицу. Непосредственными вычислениями получаем соотношения

В правой части каждого из этих равенств максимальный порядок производных функции p на единицу меньше порядка производной функции y в левой части каждого из этих равенств. Подставив производные (24.6) в дифференциальное уравнение (24.5), придем к дифференциальному уравнению вида

порядок которого на единицу меньше порядка исходного дифференциального уравнения (24.5).

Отметим, что принимая y за независимую переменную, мы могли потерять решения вида y = const. Непосредственной

107

подстановкой y = a = const в дифференциальное уравнение (24.5) можно выяснить, имеет ли оно решения такого вида.

Замечание 24.1. При решении задачи Коши для дифференциального уравнения (24.5) целесообразно определять значения постоянных Ci в процессе решения, а не после нахождения общего решения данного дифференциального уравнения. Это ускоряет решение задачи, и, кроме того, может оказаться, что интегрирование значительно упрощается, когда постоянные Ci принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных Ci интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно (в элементарных функциях).

5. Дифференциальное уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных. Дифференциальное уравнение

будем называть однородным порядка m относительно y, y′,

. . . , y(n), если

Покажем, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка, если положить

где u = u(x) есть новая неизвестная функция.

В самом деле, из (24.9) найдем выражения для y′′, y′′′, . . . , y(n). При этом при дифференцировании заменяем каждый раз

108

y′ на yu:

y′′ = y′u + yu′ = yu2 + yu′ = y(u2 + u′),

y′′′ = (y(u2 + u′))′ = y′(u2 + u′) + y(2uu′ + u′′) =

= yu(u2 + u′) + y(2uu′ + u′′) = y(u3 + 3uu′ + u′′), (24.10)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n) = yv(u, u′, . . . , u(n−1)),

где v есть некоторая функция переменных u, u′, . . . , u(n−1). Подставим (24.10) в дифференциальное уравнение (24.7):

F (x, y, yu, y(u2 + u′), . . . , yv(u, u′, . . . , u(n−1))) = 0.

Данное дифференциальное уравнение в силу однородности (24.8) функции F можно записать так:

ymF (x, 1, u, u2 + u′, . . . , v(u, u′, . . . , u(n−1))) = 0.

Разделив на ym, получим дифференциальное уравнение (n − 1)–го порядка

F (x, 1, u, u2 + u′, . . . , v(u, u′, . . . , u(n−1))) = 0.

Найдя его общее решение

u = φ(x, C1, . . . , Cn−1)

и заменив u на y′, получим y

y′

y = φ(x, C1, . . . , Cn−1)

(∫ ) y = Cnexp φ(x, C1, . . . , Cn−1)dx .

Это и есть общее решение дифференциального уравнения (24.7). Отметим, что деля на ym, мы не потеряли решение y = 0 (оно получается из общего решения при Cn = 0).

109

6. Дифференциальное уравнение, левая часть которого есть точная производная. Пусть в дифференциальном уравнении

левая часть F есть точная производная от некоторой функ-

ции

Φ(x, y, y′, . . . , y(n−1)),

т.е.

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = dxd Φ(x, y, y′, . . . , y(n−1)).

Тогда выражение

является первым интегралом дифференциального уравнения (24.11).

Если дифференциальное уравнение (24.11) не является уравнением в точных производных, то можно попытаться подобрать такую функцию

µ = µ(x, y, y′, . . . , y(n−1)),

называемую интегрирующим множителем дифференциального уравнения (24.11), чтобы после умножения на нее данное дифференциальное уравнение стало уравнением в точных производных.

110