Дифференциальные уравнения 2

Для упрощения рассуждений выполним в исходной дифференциальной системе (29.1) замену

t 7→t + s, x 7→x + ξ

(это равносильно случаю s = 0, ξ = 0). Тогда правая часть дифференциальной системы (29.1) принимает вид

∑+∞

Так как голоморфная на Π вектор–функция является непрерывно дифференцируемой, то из теоремы 25.2 (Пикара–Лин- делефа) вытекает, что дифференциальная система (29.1) при представлении (29.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию

Определение 29.1. Векторный степенной ряд будем называть формальным, если о его сходимости ничего не предполагается.

Таким образом, векторный степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 29.2. Формальный векторный степенной ряд будем называть формальным решением дифференциальной системы (29.1), если после подстановки данного формального векторного степенного ряда в эту дифференциальную систему получаем в правой и левой частях формальные векторные степенные ряды с совпадающими соответствующими коэффициентами.

Далее будем рассматривать существование формального

131

решения

∑+∞

задачи Коши (29.1) – (29.3).

На множестве голоморфных в окрестности точки (0, 0) Π функций g определим линейный дифференциальный опера-

тор

L = ∂t∂ + ∂x∂ · f,

действующий по правилу

Lg = ∂g∂t + ∂x∂g · f.

Вчастности, Lx = f.

По индукции строим k–ую (k > 1) степень линейного диф-

ференциального оператора L:

Lk = L(Lk−1), L0g = g.

При этом отметим, что если x есть решение дифференциальной системы (29.1), то

dtd g(t, x(t)) = ∂g∂t + ∂x∂g · dxdt(t) =

= ∂g∂t + ∂x∂g · f(t, x(t)) = Lg(t, x(xt)).

Поэтому L называют оператором дифференцирования в силу дифференциальной системы (29.1).

Теорема 29.1. Задача Коши (29.1) – (29.3) имеет (и притом единственное) формальное решение (29.4), где

Ak = k1!Lk−1f|(t,x)=(0,0), k N.

Доказательство. Будем искать решение задачи Коши (29.1)

– (29.3) в виде формального векторного степенного ряда (29.4).

132

При t = 0 имеем

B1 = Lf|(t,x)=(0,0).

Если продифференцировать соотношение (29.7) по t, то получим

и

Bk = k1!Lkf|(t,x)=(0,0), k N {0}.

Приравнивая соответствующие коэффициенты формальных векторных степенных рядов (29.5) и (29.6), получаем

(k + 1)Ak+1 = k1!Lkf|(t,x)=(0,0), k N {0}.

Заменяя теперь в последних соотношениях k на k −1, имеем, что

Ak = k1!Lk−1f|(t,x)=(0,0), k N {0}.

Теорема 29.1 доказана.

Определение 29.3. Формальный векторный степенной ряд вида

∑+∞ Lkk!x t=0 tk

k=0

будем называть рядом Ли функции x = x(t).

Из соотношения f = Lx следует, что формальное решение x задачи Коши (29.1) – (29.3) представимо рядом Ли.

Отметим, что при вычислении выражений

Lk−1f|(t,x)=(0,0)

134

приходится выполнять лишь действия дифференцирования формальных векторных степенных рядов, сложения и умножения. Поэтому компоненты векторных коэффициентов Ak являются полиномами компонент векторных коэффициентов ai,j с положительными коэффициентами.

Определение 29.4. Голоморфную дифференциальную систему

будем называть мажорантой голоморфной дифференциальной системы (29.1), (29.2), если

|(ak,j)i| 6 (bk,j)i, k N {0}, j N {0}, i = 1, n, (29.9)

где (•)i есть i–я компонента вектор-столбца (•), i = 1, n.

Теорема 29.2. Пусть

∑+∞

x = x(t) = Aktk

k=0

и

∑+∞

z = z(t) = Bktk

k=0

есть формальные решения задач Коши (29.1) – (29.3) и (29.8), (29.3). Тогда если дифференциальная система (29.8) есть мажоранта для дифференциальной системы (29.1), (29.2), то формальный векторный степенной ряд для формального решения z есть мажоранта векторного степенного ряда для формального решения x, т.е.

|(Ak)i| 6 (Bk)i, k N {0}, i = 1, n.

135

Решение x также голоморфно в некоторой окрестности точки t = 0. В самом деле, из формулы (29.11) на основании теоремы о подстановке степенного ряда в степенной ряд следует, что xi разлагаются в сходящийся абсолютно степенной ряд на некотором интервале (−r, r). Поэтому

∑+∞

x(t) = Aktk, |t| < r.

k=1

Нетрудно показать (У–17), что

()

Таким образом, мы получили, что решение задачи Коши (29.10), (29.3) для модельной дифференциальной системы является голоморфной вектор–функцией в некоторой окрестности точки t = 0.

Теперь рассмотрим на

Π = {(t, x)| |t| < ρ, max |xi| < R}

i=1,n

дифференциальную систему (29.1), (29.2). Не умаляя общности, будем считать, что

ρ > 1, R > 1,

ибо в противном случае с помощью замен

t 7→ρ2t, x1 7→Rx21 , . . . , xn 7→Rx2n ,

получим дифференциальную систему того же типа, но с увеличенными промежутками изменения переменных t, x1, . . . , xn, соответственно.

138

Лемма 29.1. Если векторный степенной ряд

∑+∞

Доказательство. Из абсолютной сходимости векторного степенного ряда при t = τ ≠ 0 и xi = ξi ≠ 0 следует, что

||ak,jτkξj|| 6 M, k N {0}, j1 N {0}, . . . , jn N {0}.

В самом деле, возрастающая последовательность неотрицательных частичных сумм знаконеотрицательного числового ряда, составленного из норм элементов векторного степенного ряда (29.12), имеет своим пределом некоторое число M > 0, которым ограничены все члены числового ряда. Так как

при

|t| < |τ|, |xi| < |ξi|, i = 1, n.

139

Лемма 29.1 доказана.

Следствие 29.1. Если для дифференциальной системы (29.1) постоянные ρ > 1 и R > 1, то

||ak,j|| 6 M = const.

Теорема 29.3 (Коши). При любом начальном условии

x|t=s = ξ

задача Коши для голоморфной в окрестности точки

(s, ξ)

дифференциальной системы (29.1) имеет (и притом единственное) решение, голоморфное на некотором интервале

|t − s| < r, r > 0.

Доказательство (не умаляя общности) проведем для случая

s = 0, ξi = 0, i = 1, n, ρ > 1, R > 1.

По теореме 29.1 задача Коши (29.1) – (29.3) обладает единственным формальным решением y. На основании следствия 29.1 векторный степенной ряд

∑+∞

Mtkxj

k,j=0

при

|t| < 1, |xi| < 1, i = 1, n,

является мажорантой векторного степенного ряда для голоморфной функции f. Поэтому модельная дифференциальная системы (29.10) служит мажорантой для дифференциальной

140