Дифференциальные уравнения 2
.pdfсистемы (29.1), (29.2). На основании свойств модельной дифференциальной системы (29.10) существует решение
z, z|t=0 = 0,
голоморфное при
|t| < r1 < 1.
В силу теоремы 29.2 векторный степенной ряд для решения z является мажорантой векторного степенного ряда для формального решения x. Поэтому x есть голоморфное решение задачи Коши (29.1) – (29.3) на некотором интервале
|t| < r, r > r1.
Теорема 29.3 доказана.
141
§ 30. Метод функций Ляпунова.
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений n–го порядка |
|
||
|
dx |
= f(t, x), |
(30.1) |
|
dt |
||
|
|
|
|
с непрерывной правой частью f, определенной в полупространстве t > s, удовлетворяющей условиям, обеспечивающим однозначную разрешимость любой задачи Коши (30.1) с начальным условием
x|t=s = ξ Rn, |
(30.2) |
и бесконечную продолжимость вправо всех решений. Решение
x(t) = x(t; s, ξ)
дифференциальной системы (30.1) будем называть устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (устойчивым), если оно непрерывно по ξ на бесконечном промежутке I+ = [s, +∞), то есть
ε > 0, δ > 0, t > s, ∆ξ : |∆ξ| 6 δ
||x(t; s, ξ + ∆ξ) − x(t; s, ξ)|| 6 ε.
Если, кроме того, для достаточно малых ∆ξ:
lim ||x(t; s, ξ + ∆ξ) − x(t; s, ξ)|| = 0,
t→+∞
то решение x(t) = x(t; s, ξ) будем называть асимптотически устойчивым.
Аналогичным образом вводится понятие устойчивости решения в отрицательном направлении.
142
Для исследования устойчивости некоторого решения x(t) в дифференциальной системе (30.1) произведем замену
y= x − x(t).
Врезультате получим дифференциальную систему
dy |
= g(t, y) |
(30.3) |
|
dt |
|||
|
|
где
g(t, y) = f(t, y + x(t)) − f(t, x(t)), g(t, 0) = 0, t > s.
В дифференциальной системе (30.3) решению исходной дифференциальной системы (30.1) соответствует нулевое решение y = 0. Поэтому исследование устойчивости произвольного решения дифференциальной системы (30.1) сводится к исследованию устойчивости нулевого решения дифференциальной системы (30.3).
Пусть v : Rn → R, w : Rn → R, есть непрерывно дифференцируемые скалярные функции, положительные при x ≠ 0 и нулевые при x = 0.
Теорема 30.1 (Ляпунова об устойчивости). Если существует такая функция v, для которой
|
∂v |
|
∂v |
||
grad v • f = |
|
f1 |
+ . . . + |
|
fn 6 0, t > s, x, ||x|| 6 r, |
∂x1 |
∂xn |
||||
(30.4)
то нулевое решение дифференциальной системы (30.1) устойчиво.
Функции, удовлетворяющие условию (30.4), называют функциями Ляпунова.
Следствие 30.1. Если дифференциальная система (30.1) имеет автономный (стационарный) первый интеграл v, положительный в проколотой окрестности точки x = 0 и при
143
этом v(0) = 0, то нулевое решение данной дифференциальной системы устойчиво.
Теорема 30.2 (Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существуют функции v и w, такие, что
grad v • f 6 −w, t > s, x, ||x|| 6 r, |
(30.5) |
то нулевое решение дифференциальной системы (30.5) асимптотически устойчиво.
В следующей теореме функция v не обязательно положительна при x ≠ 0, однако в любой окрестности нуля существует ξ ≠ 0, такое, что v(ξ) > 0. При этом предположения о функции w остаются прежними.
Теорема 30.3 (Ляпунова о неустойчивости). Если су-
ществуют функции v и w, такие, что |
|
grad v • f > w, t > s, x, ||x|| 6 r, |
(30.6) |
то нулевое решение дифференциальной системы (30.5) неустойчиво.
Дифференциальную систему (30.1) вида |
|
||
|
dx |
= Ax + g(t, x), |
(30.7) |
|
dt |
||
|
|
|
|
называют квазилинейной (системой с ведущей линейной частью), если равномерно по t > s
g(t, x) = o(||x||) при x → 0. |
|
||
При этом автономную линейную систему |
|
||
|
dx |
= Ax |
(30.8) |
|
|
||
|
dt |
|
|
называют линеаризацией дифференциальной системы (30.7) вдоль нулевого решения.
144
Теорема 30.4 (об асимптотической устойчивости).
Если линеаризация (30.8) асимптотически устойчива, то асимптотически устойчиво и нулевое решение квазилинейной дифференциальной системы (30.1).
Следствие 30.2. Если вектор–функция f(x) непрерывно дифференцируема в окрестности точки x = 0 и все характеристические числа матрицы Якоби f′(0) имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение автономной дифференциальной системы
dx |
= f(x), f(0) = 0 |
(30.9) |
|
dt |
|||
|
|
асимптотически устойчиво.
Теорема 30.5 (о неустойчивости). Если хотя бы одно характеристическое число матрицы A имеет положительную действительную часть, то нулевое решение квазилинейной дифференциальной системы (30.7) неустойчиво.
В частности, нулевое решение дифференциальной системы (30.9) неустойчиво, если матрица Якоби f′(0) имеет по крайней мере одно характеристическое число с положительной действительной частью.
145
§ 31. Колеблемость решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассмотрим линейное скалярное дифференциальное уравнение второго порядка
x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0, t I =< a, b >, |
(31.1) |
с непрерывными коэффициентами p и q.
По теореме об однозначной разрешимости всякая задача Коши для дифференциального уравнения (31.1) имеет единственное решение, определенное на промежутке I. В частности, если решение обращается в нуль вместе со своей производной в некоторой точке промежутка I, то это решение нулевое. В дальнейшем в данном параграфе под решением будем понимать лишь ненулевое решение. Поэтому, если решение x обращается в нуль в точке t0 I, то x′(t0) ≠ 0 и поэтому для внутренней точки t0 решение x меняет знак при переходе через t0, а график решения пересекает ось t.
Лемма 31.1 (о нулях решений). Никакое решение дифференциального уравнения (31.1) не может иметь бесконечного числа нулей на любом отрезке [α, β] I (т.е. нули всякого решения изолированы).
Доказательство. Если решение x имеет бесконечное множество нулей на отрезке [α, β], то в точке t , которая является предельной для множества нулей, имеем
x(t ) = x′(t ) = 0.
Отсюда делаем вывод, что решение x является нулевым. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Лемма 31.2 (о линейной зависимости). Если два решения дифференциального уравнения (31.1), либо их первые
146
производные обращаются в нуль в некоторой точке промежутка I, то эти решения линейно зависимы (т.е. отличаются друг от друга на постоянный множитель).
Доказательство. Вронскиан W решений x1 и x2 равен x1x′2 − x2x′1. По условию в некоторой точке t0 I вронскиан W (t0) ≠ 0. Тогда на основании формулы Лиувилля– Остроградского имеем, что
W (t) = 0, t I.
А это означает, что решения x1 и x2 линейно зависимы. Лемма 31.2 доказана.
Решение дифференциального уравнения (31.1) будем называть неколеблющимся на промежутке I1 I, если оно имеет на I1 не более одного нуля. В противном случае решение будем называть колеблющимся на I1.
Теорема 31.1 (признак неколеблемости решений).
Всякое решение дифференциального уравнения (31.1) является неколеблющимся на промежутке I1 I, если на этом промежутке q(t) 6 0.
Пример 31.1. Решения уравнения Эйлера
t2x′′ + ta1x + a0x = 0, t > 0,
являются неколеблющимися, если a0 6 0.
При исследовании колеблемости дифференциального уравнения (31.1) часто бывает полезным привести его к более простому виду. Сделаем в данном дифференциальном уравнении замену
x = u(t)y,
где u есть дважды дифференцируемая функция. Имеем
u′′(t)y + 2u′(t)y′ + u(t)y′′ + p(t)(u′(t)y + u(t)y′) + q(t)u(t)y = 0,
147
u(t)y′′ + (2u′(t) + p(t)u(t))y′ + (u′′(t) + p(t)u′(t) + q(t)u(t))y = 0.
Выберем функцию u такой, чтобы
2u′(t) + p(t)u(t) = 0.
Предположим, что коэффициент p(t) является непрерывно дифференцируемым. Тогда в качестве u можно взять положительную функцию
|
|
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(t) = exp(− |
|
|
∫s |
p(τ)dτ). |
|
|
||||||||
2 |
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′′(t)+p(t)u′(t)+q(t)u(t) = u(t)( |
p |
2(t) |
|
p (t) p2(t) |
+q(t)) = |
|||||||||
|
|
− |
′ |
− |
|
|||||||||
|
4 |
|
2 |
2 |
||||||||||
= u(t)(− |
2(t) |
|
|
|
|
p (t) |
+ q(t)). |
|
|
|||||
p |
− |
|
|
′ |
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
Так как u(t) ≠ 0, то в результате получаем дифференциальное уравнение
y′′ + Q(t)y = 0, |
(31.2) |
|||||
где |
p2(t) |
|
p′(t) |
|
||
Q(t) = − |
− |
+ q(t). |
||||
4 |
2 |
|
||||
Таким образом, если функция p непрерывно дифференцируема, а функция q непрерывна, то замена
|
|
t |
|
1 |
∫s |
p(τ)dτ)y |
|
x = exp(−2 |
(31.3) |
148
преобразует дифференциальное уравнение (31.1) к дифференциальному уравнению (31.2) с непрерывным коэффициентом Q. Дифференциальное уравнение (31.2) будем называть канонической формой дифференциального уравнения (31.1). Отметим, что преобразование (31.3) сохраняет нули соответствующих решений дифференциальных уравнений (31.1) и (31.2). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только каноническую форму.
Пример 31.2. Уравнение Бесселя
t2x′′ + tx′ + (t2 − ν2)x = 0, t > 0,
заменой
|
|
1 |
|
|||
|
x = t− |
|
y |
|||
2 |
||||||
сводится к канонической форме |
||||||
y′′ + (1 − |
ν2 − |
1 |
|
)y = 0, t > 0. |
||
|
|
|||||
4 |
||||||
t2 |
|
|
||||
Рассмотрим два дифференциальных уравнения в канони-
ческой форме |
|
x′′ + Q(t)x = 0 |
(31.4) |
и |
|
x′′ + Q1(t)x = 0 |
(31.5) |
снепрерывными на промежутке I коэффициентами Q и Q1.
Теорема 31.2 (теорема сравнения Штурма). Если t1
и t2, t1 < t2 есть нули некоторого решения x дифференциального уравнения (31.4) и
Q(t) 6 Q1(t), t [t1, t2], |
(31.6) |
то всякое решение y дифференциального уравнения (31.5) на отрезке [t1, t2] имеет по крайней мере один нуль. Более того,
149
если t1 и t2 не являются одновременно нулями решения y, то y имеет нуль на интервале (t1, t2).
Отметим, что если неравенство (31.6) хотя бы в одной точке является строгим, то всякое решение дифференциального уравнения (31.5) имеет нуль на интервале (t1, t2).
Следствие 31.1. Всякое решение дифференциального уравнения (31.4) является неколеблющимся на промежутке I, если Q(t) 6 0 на I.
Доказательство. Если бы нашлось решение x, обращающееся в нуль по крайней мере в двух точках, то по теореме сравнения Штурма всякое решение дифференциального уравнения
y′′ = 0
(здесь Q1 ≡ 0) должно обращаться в нуль на I. Это неверно, так как существует решение y = 1, не имеющее нулей на I. Полученное противоречие и доказывает утверждение.
Отметим, что следствие 31.1 является частным случаем признака неколеблемости решений.
Следствие 31.2. Нули линейно независимых решений дифференциального уравнения (31.4) взаимно разделяют друг друга, т.е. строго между двумя последовательными нулями одного решения лежит ровно один нуль другого решения.
Доказательство. Пусть x1 и x2 есть линейно независимые решения дифференциального уравнения (31.4). По лемме о линейной зависимости они не могут иметь общих нулей. Из теоремы сравнения Штурма следует, что строго между двумя последовательными нулями t1 и t2 решения x1 расположен по крайней мере один нуль решения x2. Если бы на интервале (t1, t2) нашелся еще один нуль решения x2, то поменяв в предыдущем рассуждении местами решения x1 и x2, получаем, что нули t1 и t2 решения x1 не являются последователь-
150