Blatov_lek
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Алгебра и геометрия
Самара, 2010
УДК 512.6, 514.1
Блатов И.А., Старожилова О.В. Алгебра и геометрия. Конспект лекций.- Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2010.- 230
Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: линейная алгебра, аналитическая геометрия, элементы функционального анализа.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.
Рецензент:
Акчурин Э.М. –д.т.н., проф., профессор кафедры информатики и вычислительной техники ПГУТИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
©Блатов И.А., Старожилова О.В., 2010
2
Содержание |
|
Введение |
8 |
Лекция 1 Линейная алгебра |
9 |
Линейные операции над матрицами |
14 |
Умножение матрицы на число |
14 |
Сложение и вычитание матриц |
15 |
Умножение матриц |
17 |
Контрольные вопросы к лекции по теме «Матрицы» |
20 |
Задачи для самостоятельного изучения |
20 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
21 |
Лекция 2 Теория определителей |
22 |
Исследование системы двух линейных уравнений |
22 |
Свойства определителей |
30 |
Методы вычисления определителей |
35 |
Вычисление определителя Вандермонда |
36 |
Контрольные вопросы к лекции «Теория |
|
определителей» |
38 |
Задачи для самостоятельного изучения |
38 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
38 |
Лекция 3 Ранг матрицы |
39 |
Элементарные преобразования матрицы |
41 |
Системы m линейных уравнений с n неизвестными |
44 |
Общий порядок решения системы общего вида |
50 |
Лекция 4 Обратная матрица |
51 |
Правило нахождения обратной матрицы |
52 |
Контрольные вопросы по теме «Обратная матрица» |
55 |
Задачи для самостоятельного изучения |
55 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
55 |
Лекция 5 Системы линейных алгебраических уравнений |
56 |
Общие сведения о системах линейных уравнений |
56 |
Методы решения систем линейных уравнений |
57 |
Метод Крамера |
58 |
Матричный метод |
62 |
Метод Гаусса |
64 |
3 |
|
Однородные системы линейных уравнений |
68 |
Общее решение однородной линейной системы |
69 |
Контрольные вопросы |
72 |
Задачи для самостоятельного решения |
73 |
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
74 |
Собственные значения и вектора линейного оператора |
74 |
Свойства собственных чисел и собственных векторов |
78 |
Лекция 6 Скалярное произведение векторов |
79 |
Основные свойства проекций |
79 |
Свойства скалярного произведения |
80 |
Скалярное произведение векторов, заданных своими |
|
проекциями |
81 |
Контрольные вопросы |
81 |
Задачи для самостоятельного изучения |
82 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
83 |
Векторное произведение векторов |
83 |
Свойства векторного произведения |
84 |
Контрольные вопросы по теме «Векторное |
|
произведение» |
86 |
Задачи для самостоятельного изучения |
86 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
87 |
Смешанное произведение векторов |
88 |
Свойства смешанного произведения |
89 |
Лекция 7 Плоскость в пространстве R3 |
90 |
Нормальное уравнение плоскости |
94 |
Расстояние от точки до плоскости |
95 |
Взаимное расположение двух плоскостей |
96 |
Угол между двумя плоскостями |
96 |
Условие параллельности двух плоскостей |
97 |
Условие перпендикулярности двух плоскостей |
97 |
Контрольные вопросы по теме «Плоскость» |
98 |
Задачи для самостоятельного изучения |
98 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
99 |
Лекция 8 Прямая линия |
101 |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом |
101 |
4
Уравнение прямой проходящей через одну точку с |
|
угловым коэффициентом |
103 |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные |
|
точки |
103 |
Уравнение пучка прямых с центром в точке M x0 , y0 |
104 |
Угол между двумя прямыми |
104 |
Уравнение в отрезках |
105 |
Нормальное уравнение прямой |
106 |
Расстояние от точки до прямой |
107 |
Контрольные вопросы |
108 |
Задачи для самостоятельного решения |
109 |
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
110 |
Лекция 9 Прямая линия в пространстве |
112 |
Уравнение прямой как линии пересечения двух |
|
плоскостей |
112 |
Параметрическое уравнение прямой |
113 |
Каноническое уравнение прямой |
113 |
Уравнение прямой, проходящей через две точки |
114 |
Переход от общих уравнений прямой к каноническим |
114 |
Взаимное расположение прямых в пространстве |
116 |
Задачи для самостоятельного решения |
119 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
121 |
Лекция 10 Взаимное положение прямой и плоскости |
122 |
Углом между прямой и плоскостью |
122 |
Условие параллельности прямой и плоскости |
123 |
Условие перпендикулярности прямой и плоскости |
124 |
Контрольные вопросы по теме «Прямая и плоскость» |
127 |
Задачи для самостоятельного изучения |
127 |
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
128 |
Лекция 11 Кривые второго порядка |
129 |
Окружность |
129 |
Эллипс |
130 |
Свойства эллипса |
134 |
Гипербола |
136 |
Свойства гиперболы |
139 |
5
Парабола |
140 |
Свойства параболы |
142 |
Контрольные вопросы по теме «Кривые второго |
|
порядка» |
144 |
Задачи для самостоятельного изучения |
145 |
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
149 |
Лекция 12 Преобразования системы координат на |
|
плоскости |
151 |
Параллельный перенос системы координат |
151 |
Поворот осей координат |
152 |
Классификация кривых второго порядка |
153 |
Приведение уравнений кривых второго порядка к |
|
каноническому виду |
156 |
Контрольные вопросы по теме «Параллельный |
|
перенос» |
160 |
Задачи для самостоятельного изучения |
160 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения |
161 |
Лекция 13 Полярная система координат |
162 |
Цилиндрическая система координат |
165 |
Сферическая система координат |
167 |
Задачи для самостоятельного изучения |
170 |
Ответы для самостоятельного решения |
171 |
Лекция 14 Поверхности второго порядка |
172 |
Сфера |
174 |
Поверхности вращения |
178 |
Эллипсоиды |
180 |
Двухполостный гиперболоид |
181 |
Однополосный гиперболоид |
183 |
Параболоиды |
185 |
Эллиптический параболоид |
185 |
Гиперболический параболоид |
186 |
Лекция 15 Цилиндрические и конические поверхности |
189 |
Цилиндрические поверхности |
189 |
Цилиндры |
190 |
Эллиптический цилиндр |
191 |
Гиперболический цилиндр |
191 |
6
Параболический цилиндр |
192 |
Конические поверхности |
192 |
Конус |
193 |
Лекция 16 Элементы функционального анализа |
194 |
Линейные пространства |
194 |
Метрические и нормированные пространства |
203 |
Глоссарий |
207 |
К лекции 1 |
207 |
К лекции 2 |
209 |
К лекции 3 |
210 |
К лекции 4 |
211 |
К лекции 5 |
212 |
К лекции 6 |
212 |
К лекции 7 |
213 |
К лекции 8 |
214 |
К лекции 9 |
215 |
К лекции 10 |
216 |
К лекции 11 |
218 |
К лекции 12 |
218 |
К лекции 13 |
219 |
К лекции 14 |
219 |
К лекции 15 |
220 |
К лекции 16 . |
221 |
Рекомендуемая литература |
225 |
7
Введение
« …и снова путем привычным. Путь к знаниям — бесконечный путь…»
В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных задач.
Курс «Алгебра и геометрия» является одним из основных математических курсов, лежащих в основе математического образования студентов, заключается в необходимости подготовки студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин, большинство из которых связаны с основными понятиями алгебры и геометрии.
Знания и навыки, получаемые студентами в результате изучения дисциплины, необходимы для успешного освоения таких дисциплин, как «Высшая математика», «Вычислительная математика», «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы».
Курс построен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Алгебра и геометрия». Учебная программа разработана на основе учебных планов специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительных и автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и технологии».
Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: линейная алгебра, аналитическая геометрия, элементарную геометрию на основе аксиоматики, включая геометрические преобразования и построения, элементы функционального анализа.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.
8
Лекция 1 Линейная алгебра
Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и еѐ приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.
Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон - автор термина «вектор».
Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867).
Необходимость решения задач линейной алгебры возникает практически во всех прикладных математических расчетах. Основными среди этих задач являются решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и
векторов, обращение матриц. |
|
|
|
|
Определение |
|
Прямоугольной |
матрицей |
|
размерностью n на m называется |
прямоугольная таблица, |
|||
состоящая из n строк и m столбцов. |
|
|
||
|
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
A |
a21 |
a22 |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
am2 |
|
|
|
am1 |
amn |
||
Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).
9
Определение Матрица квадратная n порядка –
квадратная таблица n2 чисел, расположенных в n строчках и n столбцах
a |
a |
a |
|
11 |
12 |
1n |
|
A a21 |
a22 |
a2n . |
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
|
an1 |
ann |
||
Обозначения: A – матрица, aij - элемент матрицы, i - номер |
|||
строки, в которой стоит |
данный |
элемент, j - номер |
|
соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы.
Пример
b11 |
b12 |
b13 |
|
|
B b |
b |
b |
|
- квадратная матрица третьего |
21 |
22 |
23 |
|
|
|
b32 |
b33 |
|
|
b31 |
|
|
порядка.
Определение Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.
Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые первый и второй индеек b11,b22 ,b33 образуют главную
диагональ. Элементы b13,b22 ,b31 этой матрицы образуют
побочную диагональ.
10