Blatov_lek

Фундаментальная система решений - любые n – r

линейно независимые решения системы.

Эквивалентные матрицы - матрицы, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

К лекции 4

Однородная система – система уравнений у которой свободные члены равны нулю.

Правило Крамера :Если определитель системы не равен нулю, то решение системы единственно. Каждое из неизвестных равно частному двух определителей с общим знаменателем, равным определителю системы, числителями служат определители, получаемые из определителя системы заменой столбца коэффициентов, стоящих при определяемом

Эквивалентные системы - две системы , если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений – преобразования вида:

-перестановка местами двух уравнений;

-умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

211

К лекции 5

Базис в трехмерном пространстве R3 -- упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Вектор - направленный отрезок или упорядоченную пару точек будем называть

Длина - расстояние между началом и концом вектора Единичный вектор -вектор, длина которого равна единице. Коллинеарные векторы – векторы, расположенные на

Нулевой вектор - это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено

Орт вектора a называется вектор a 0 , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор a .

Ортогональный базис - базис a, b, c , если векторы a, b, c

попарно перпендикулярны.

Ортонормированный базис – базис a, b, c , если векторы

a, b, c попарно перпендикулярны и имеют длину, равную

единице.

К лекции 6

Векторное произведение вектора a на вектор b - вектор c a b a, b , определяемый следующим образом:

212

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , т.е.

c ab sin ,

где - угол между векторами a и b ;

2)вектор c перпендикулярен векторам a и b ;

3)векторы a, b, c после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

вектора, видит кратчайший поворот от a к b происходящим по часовой стрелки.

Правая тройка векторов - упорядоченная тройка векторов a, b, c , если наблюдатель, находящейся на конце вектора, видит

кратчайший поворот от a к b происходящим против часовой стрелки.

Проекция вектора a на вектор b - скалярная величина

prb a a cos

Скалярное произведение двух векторов - число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

a b a, b ab cos a,b

Смешанное произведение трех векторов a, b, c - число,

определяемое по формуле:

a, b , c a b c

К лекции 7

Алгебраическая поверхность - поверхность в некоторой прямоугольной декартовой системе координат она определяется уравнением

F(x, y, z) 0

где F(x, y, z) - целый многочлен относительно переменных x, y, z .

213

Трансцендентная поверхность - всякая неалгебраическая поверхность.

Сфера в пространстве R3 - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

Уравнение линии L - уравнение y f (x) или F(x, y) 0

если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L .

Уравнение поверхности - уравнение вида

F(x, y, z) 0 ,

которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности, и притом только этих точек.

К лекции 8

Векторное уравнение плоскости – уравнение вида: n(r r0 ) 0

Нормальный вектор плоскости - любой ненулевой вектор n A, B,C , перпендикулярный плоскости.

Нормальное уравнение плоскости - уравнение вида cos x cos y cos z p 0

положительное направление нормали, и d , если M * лежит с другой стороны от данной плоскости. 0 для точек лежащих на плоскости.

Расстояние d от точки x0 , y0 , z0 до плоскости

Ax By Cz D 0 определяется по формуле

214

d Ax0 By0 Cz0 D

A2 B2 C 2

Угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами N1 и N2 , т.е.

аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz .

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x0,y0,z0) и имеющую нормальный вектор

A(x - x0) B(y - y0) C(z - z0) 0 .

Условие параллельности двух плоскостей – условие

A2 B2 C2

A1 B1 C1

Условие перпендикулярности двух плоскостей - условие

A1 A2 B1B2 C1C2 0 .

К лекции 9

Угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой к оси ОХ, угол отсчитывается от оси ОХ к прямой против часовой стрелки.

215

Нормальное уравнение прямой - уравнение вида xcos ysin p 0

216

где

положительное направление нормали, и d , если M * лежит с другой стороны от данной прямой, 0 для точек лежащих на прямой.

Параметрическое уравнения прямой - уравнение вида

x x0 mt

y y0 ntz z0 pt

Расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения этой точки d

d Ax0 By0 C

A2 B2

Угол между двумя прямыми в пространстве - любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым или угол между их направляющими векторами, т.е.

Условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

m1 n1 p1 m2 n2 p2

Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

S1 S2 m1m2 n1n2 p1p2 0 .

217

К лекции 11

Угол между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

К лекции 12

Гипербола - геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

(фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и равно числу e (эксцентриситету. Если e 1 то это эллипс, если e 1 то это парабола, если e 1, то это

гипербола.

Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности с центром в точке C(a,b) и радиусом R .

x a 2 y b 2 R2

Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

y2 2 px

Фокально-директориальное свойство - отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т.е.

218

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Уравнение эллипса

К лекции 13

Параллельный перенос системы координат –

преобразование системы координат, при котором

сохраняется направление координатных осей, но меняется x x a

положение начала координат y y b

Полярная система координат – система координат

К лекции 14

Бесконечный цилиндр - тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью.

219

Конус – поверхность определяемая уравнением

x2 y2 z 2 0 a2 b2 c2

Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию

(направляющую конуса).

Параболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением

y2 2 px

Цилиндр - тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя сечениями, благодаря которым она была получена.

Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

Эллиптический цилиндр – поверхность определяемая уравнением

x2 y2 1 a2 b2

К лекции 15

Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением

2z x2 y 2 p q

Двухполостный гиперболоид –поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

220