Blatov_lek

Пример Найти уравнение поверхности вращения

Такая поверхность носит название двуполостного

гиперболоида вращения.

Различают одно и двухполостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой

оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Двухполостный гиперболоид

 Определение Двухполостный гиперболоид –

поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

x2 y2 z2 1 a2 b2 c2

и OZ .

181

Сечение плоскостью OYZ определяется

OZ

Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости

Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси z - гиперболы (для однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых), сечения, параллельные плоскости

182

Однополосный гиперболоид

Определение Однополосный гиперболоид – поверхность,

которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

x2 y2 z2 1 a2 b2 c2

где a,b,c - полуоси гиперболоида, если они различны.

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму однополостного гиперболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ .

Сечение плоскостью OXZ определяется

OZ

Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости

183

Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ .

Замечание Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью (то есть может быть составлена из одних прямых); если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней. Это свойство линейчатости однополостного гиперболоида используется в архитектуре.

Замечание Шуховская башня в Москве является гиперболоидной конструкцией. Она составлена именно из гиперболоидов, образованных прямыми стержнями, выполнена в виде несущей стальной сетчатой оболочки. Расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена в 1919—1922г.. великим русским инженером, академиком Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853—1939).

Шуховская башня имеет оригинальную изящную сетчатую конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка, представляющая главную опасность для высоких сооружений. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания. Такие конструкции оказались легкими и прочными. Они часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен.

Пример Найти уравнение поверхности вращения

гиперболы z y2 вокруг оси Oz .

Решение

Поверхность z x2 y2 , получаемая

в результате вращения, называется

параболоидом вращения.

184

Параболоиды

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (т.е. не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Параболоид ― тип поверхности второго порядка.

Эллиптический параболоид

 Определение Эллиптический параболоид –

поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

2z x2 y2 p q

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ .

185

Аналогично при рассмотрении сечений эллипсоида с плоскостями OXZ и OYZ .

Сечения, параллельные оси Z – параболы, сечения, параллельные плоскости XOY – эллипсы.

Замечание Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Замечание Если p q то эллиптический параболоид

представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Гиперболический параболоид

Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением

2z x2 y2 p q

Гиперболический параболоид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая уравнением вида

Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

 Определение Линейчатая поверхность ― поверхность,

образованная движением прямой линии.

186

Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

С помощью метода параллельных сечений исследуем форму эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечение плоскостями, плоскостями OXZ и OYZ .

Сечение плоскостью OXZ определяется

OXZ

Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными плоскости

Плоскость z h пересекает гиперболический параболоид по гиперболам.

187

Сечения, параллельные плоскостям OYZ и XOZ – параболы, сечения, параллельные плоскости XOY – гиперболы ( и пара пересекающихся прямых).

 Замечание

Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной

188

Лекция 15 Цилиндрические и конические поверхности

Цилиндрические поверхности являются частным случаем линейчатых поверхностей. Цилиндрическая поверхность имеет бесконечно много разнообразных направляющих (изоморфных друг другу).

Характеристикой направляющей кривой, качественно влияющей на цилиндрическую поверхность, является замкнутость: если направляющая кривая замкнута, цилиндрическая поверхность называется замкнутой, и разомкнутой в противоположном случае.

Цилиндрические поверхности

 Определение Цилиндрическая поверхность -

поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию C (направляющую).

Беря за направляющие цилиндрических поверхностей различные кривые 2-го порядка, лежащие в плоскости OXY , и принимая направление оси OZ за направление образующих этих цилиндров, получаем уравнения цилиндрических поверхностей:

Допустим, что направляющая C задана уравнениями

F (x, y, z) 0Ф(x, y, z) 0

а образующая L задана уравнениями

189

относительно переменных X ,Y , Z , т.е. уравнение

цилиндрической поверхности. Заметим, что всякое уравнение вида

F(x, y) 0

не содержащее координаты z , определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz .

На координатной плоскости Oxy уравнение определяет

плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности.

В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями

F(x, y) 0 и z 0 .

бесконечной цилиндрической поверхностью, называют

бесконечным цилиндром.

Рассмотрим уравнения известных кривых второго порядка:

и примем их за уравнения направляющих цилиндрических поверхностей.

Тогда в пространстве эти уравнения будут представлять следующие цилиндрические поверхности:

 Определение Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром.

Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка

190