Blatov_lek

Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями

Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Тогда скалярное произведение

a b xa i ya j zak xb i yb j zbkxaxb i i xayb i j za zb k k

Помня, что от перестановки сомножителей скалярного произведения результат не меняется, получим

Учитывая эти результаты, найдем

a b xaxb yayb zazb

Скалярное произведение векторов, заданных проекциями в декартовой системе координат, равно сумме произведений одноименных координат.

 Замечание Формула справедлива только в ортонормированном базисе.

Косинус угла между векторами определится выражением

Контрольные вопросы

1.Дать определение скалярного произведения двух векторов.

2.Какие значения могут получиться в результате скалярного произведения?

3.Перечислите свойства скалярного произведения.

4.Чему равно скалярное произведение вектора самого на

себя?

81

5.Как вычислить скалярное произведение, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе?

6.Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

7.Как найти угол между векторами?

Задачи для самостоятельного изучения

b 2; 1;2 .

82

8.Найти проекцию вектора d 4; 3;2 на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

9.Даны векторы a 1; 3;4 , b 3; 4;2 и

образует острый угол с осью OZ. Зная, что длина вектора равна 50, найти его координаты.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения

1.1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6) 37; 7) 73.

2.1) 22; 2)6; 3) 7; 4)-200; 5) 129; 6) 41.

3.-3/2.

4.-13.

5.53 .

6. Внутренний при вершине B 450 , внешний при

A2700 .

7.6.

8.3

9.5.

10.{-24,32,30}.

Векторное произведение векторов

Введем нелинейную операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

83

Определение Упорядоченная

тройка векторов a, b, c называется

правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора, кратчайший поворот от

a к b кажется происходящим против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов левая.

Пример

ijk правая тройка jik левая тройка

b

-вектор c a b a, b , определяемый следующим образом:

1)длина его равна площади параллелограмма,

общему началу образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения

1.a b = -b a ;

2.a + b c = a c + b c ;

3.α a b = α a b ; a - вещественное число;

84

построенного на векторах a , b ;

5.если a 0,b 0 , и a b = 0 , то a || b .

Векторное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат

Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Найдем векторное произведение

a b xa i ya j zak xb i yb j zbkxaxb i i xa yb i j za zb k k

Помня, что от перестановки сомножителей векторного произведения результат меняет знак, получим

Учитывая эти результаты, найдем

a b yazb zayb i xazb zaxb j xayb yaxb k

или

i j k

a b xa ya za xb yb zb

Т.о., вектор, получаемый в результате векторного произведения векторов, заданных своими координатами, получается из определителя, первой строкой которого являются координатные орты, вторая и третья строки состоят, соответственно, из координат первого и второго сомножителей.

85

Вычислить:

а) a b a b ; a b б) 3a b a 2b .

5.Векторы a и b образуют угол 23 .

7.Даны точки A 1,2,0 , B 3,0, 3 и C 5,2,6 . Вычислить площадь треугольника ABC .

8.Даны вершины треугольника A 1, 1,2 , B 5,2,6 и

C 1,3, 1 . Вычислить длину его высоты, опущенной из

вершины B на сторону AC .

9. Вектор x , перпендикулярный к векторам a 4, 2,3 и b 0,1,3 , образует с осью Oy тупой угол. Зная, что длина x равна 26, найти его координаты.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения

1.а) правая; б) левая; в) левая; г) правая; д) векторы компланарны; е) левая.

2.15.

3.16.

4.а) 24, б) 60.

5.а) 3; б) 27; в) 300.

6.а) {5,1,7}; б) {10,2,4}; в) {20,4,28}.

7.14 .

8.5 .

9.{-6,-24,8}.

87

Смешанное произведение векторов

Определение Смешанное произведение трех векторов

a, b, c - число

a, b , c a b c .

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.

Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости

( cos 0 ),

то

a, b , c 0

- необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Известно, что

a b yazb zayb i xazb zaxb j xayb yaxb k

Скалярно умножим этот вектор на вектор c и, учитывая свойства скалярного произведения, получим

a b c yazb zayb xc xazb zaxb yc xayb yaxb zc

88

Это выражение может быть получено при вычислении

по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

a b c a b c c a b

Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как a, b, c , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

Свойства смешанного произведения

1.a b c b c a c a b

2.При перестановке двух сомножителей смешанное

произведение меняет знак 3. Смешанное произведение обращается в нуль, если

хотя бы один из перемножаемых векторов 0 два из векторов коллинеарны три – компланарны.

.

5.Объем пирамиды равен v 16 abс одна шестая объема

параллелепипеда, построенного на ее сходящихся в одной вершине ребрах.

6. Вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

89