Blatov_lek

 Теорема Если векторы попарно ортогональны, то они являются линейно независимыми.

Определение Множество векторов на прямой назовем

одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости - двумерным векторным пространством, в пространстве - трехмерным векторным пространством.

Определение Базис векторного пространства L - упорядоченная система векторов пространства, состоящая: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

 Замечание Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Всамом деле, базис бесконечномерного пространства, очевидно, не может состоять из конечного числа элементов, это должна быть бесконечная система. Но что понимать под "линейной комбинацией бесконечного числа элементов"?

Понятие линейной комбинации введено нами лишь для конечного числа элементов; более того, аксиомы линейного

пространства позволяют рассматривать сумму любого

201

конечного числа слагаемых, но никак не определяют сумму бесконечного числа слагаемых.

Наконец, если мы даже определим бесконечную сумму (и, соответственно, бесконечную линейную комбинацию), то в каком смысле следует понимать равенство этой бесконечной суммы некоторому элементу пространства?

Таким образом, изучение базисов в бесконечномерных линейных пространствах немыслимо без рассмотрения бесконечных сумм (которые, как и в классическом анализе, будем называть рядами).

Изучение рядов, как и любых математических объектов, связанных с бесконечностью, невозможно без введения в том или ином виде понятия предела (так, в классическом анализе сумма числового ряда понимается как предел частичных сумм этого ряда). А понятие предела, в свою очередь, предполагает возможность тем или иным образом оценить "близость" друг к другу элементов пространства (так, классическое понятие предела числовой последовательности фактически означает, что члены последовательности все ближе и ближе приближаются к некоторому фиксированному числу, называемому пределом этой последовательности). Тем самым возникает необходимость во введении такого понятия, как расстояние между элементами пространства.

Иными словами, пространство должно быть наделено метрикой.

Пространство должно быть наделено не только линейной, но и метрической структурой. В этом заключается коренное отличие бесконечномерных линейных пространств от конечномерных.

 Замечание В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, т.е. факторы единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

202

Метрические и нормированные пространства

Формально метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Морис Фреше впервые ввѐл понятие метрического пространства. Морис Рене Фреше (1878 - 1973) — французский математик.

В 1906 году ввел современные понятия метрического пространства, компактности, полноты и др.; работал также в области теории вероятностей.

 Определение Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число

x, y , обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

1.x, y 0 для любых x, y M ,

x, y 0 в том и только в том случае, когда x y ;

2.x, y y, x для любых x, y M ;

3.x, y x, z z, y для любых x, y M

пространства.

Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами метрики. Любое множество можно наделить метрикой:

Пример В евклидовом пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

Длина нуль-вектора, O , равна нулю; длина любого другого вектора положительна.

Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

Действует неравенство треугольника.

203

Метрическое пространство - множество точек плоскости, где

 Замечание В приведенном примере третья аксиома, принимает вид

A, B A, C C, B

где A, B, C - произвольные точки плоскости.

Имеет наглядную интерпретацию: длина любой из сторон треугольника не превосходит суммы двух других сторон (равенство достигается, если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB).

В связи с этим третью аксиому метрического пространства часто называют неравенством треугольника.

На множестве непрерывных функций можно ввести и так называемую среднеквадратичную метрику

a

(пространство с этой метрикой обозначают C2 a, b ),

В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие нормы элемента.

 Определение Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства

поставлено в соответствие действительное число x (норма x ), причем выполнены следующие аксиомы:

1. x 0 для любого x, причем x 0 тогда и только тогда, когда x 0 ;

2. x x для любого x

3. x y x y для любых x, y из данного

пространства.

Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.

204

Все метрические понятия переносятся и на нормированные пространства.

Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется

неравенством Минковского.

Минковский Герман (1864-1909, Гѐттинген) — немецкий математик, разработавший геометрическую теорию чисел и геометрическую четырѐхмерную модель теории относительности.

В этой модели время и пространство представляют собой не различные сущности, а являются взаимосвязанными измерениями единого пространства-времени, а все релятивистские эффекты получили наглядное геометрическое истолкование. Минковский провозгласил:

Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность.

Модель Минковского существенно помогла Эйнштейну в разработке общей теории относительности, полностью опирающейся на аналогичные идеи.

Пример

Нормированные пространства - множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора.

В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:

Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

x, y x y

При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного

205

пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно. Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского.

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

 Теорема Любое линейное нормированное пространство метрическое пространство

Доказательство

Нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно:

Не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой.

Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму.

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной) метрикой.

x, y x y .

Замечание Манхеттенская, или городская метрика:

координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами.

Замечание Любое нормированное пространство можно

превратить в метрическое, определив функцию расстояния d x, y y x

206

Глоссарий

К лекции 1

Главная диагональ - совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним. а на отрезке.

Единичная матрица - квадратная матрица, независимо от ее порядка, элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю.

Матрица квадратная - матрица порядка для которой выполняется свойство: число строк равно числу столбцов.

Матрицастолбец- матрица состоящая только из одного

Побочная диагональ - совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним.

Произведение матрицы Amn на матрицу Bnk - матрица

Cmk , каждый элемент которой cmk , равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы Amn на j -ый столбец матрицы

Bnk

207

Прямоугольная матрица размерностью n на m называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов

Симметрическая матрица – квадратная матрица элементы которой удовлетворяют условию aij aji

Сумма (разность) двух матриц - матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц.

Транспонированная матрица AT - матрица, если элементы каждой строки матрицы A записываются в том же порядке в

208

i j, называется правой (или верхней) треугольной матрицей, а матрица C, где cij 0 при i j , - левой (или нижней)

К лекции 2

Алгебраическое дополнение элемента Aik - минор Mik

взятый со знаком 1 i k

Aik 1 i k Mik

Вырожденная матрица - квадратная матрица имеющая определитель равный нулю.

Минор порядка k матрицы A - определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Невырожденная матрица - квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля ( 0 ), в противном случае - матрица.

Несовместная система – система не имеющая ни одного

Определитель 3-го порядка - число, находящиеся по следующему правилу: сумма 6 слагаемых, из которых первые три взяты со знаком «+», а три – со знаком «-«.

209

Особая матрица - квадратная матрица определитель которой равен нулю.

Совместная система - система, обладающая хотя бы одним решением.

К лекции 3

Базисный минор матрицы - всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы.

Неопределенная система - совместная линейная система если она имеет более одного решения.

Обратная матрица - называется матрица A 1

A 1A AA 1 E .

Определенная система - совместная линейная система, если она имеет единственное решение.

Определитель второго порядка - число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

Определитель третьего порядка - число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Теорема Кронекера-Капелли - система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы

равен рангу расширенной матрицы A* .

RgA RgA* .

210