Blatov_lek

элементов исходной матрицы A , т.е. в матрице B элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение

Aij элемента aij исходной матрицы.

3.Транспонируем матрицу B и получим BT .

4.Найдем обратную матрицу A 1 1 BT

 Замечание После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия

A 1A AA 1 E

Пример Найти обратную матрицу для матрицы

Решение

Вычисления произведем в соответствии с описанным

52

Решение

Определитель матрицы 6 0следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

A11 1, A12 7, A13 2, A21 1,

A22 5, A23 4, A31 1, A32 1, A33 2

Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером.

53

Можно убедиться, что найденная матрица действительно

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

Обращение матриц создает матрицу A 1 , для которой произведение ее на исходную матрицу A дает единичную матрицу, т.е. матрицу с диагональными элементами, равными 1,

иостальными – нулевыми.

Замечание Матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Пример Решить матричное уравнение:

X A B C,

Решение

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу A 1 .

54

Проверка:

Контрольные вопросы по теме «Обратная матрица»

1.Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице?

2.Условия существования обратной матрицы.

3.Перечислите этапы вычисления обратной матрицы.

Задачи для самостоятельного изучения

Для матриц, соответствующих определителям задач 1, 2 из лекции 2, найти обратные матрицы.

Ответы к задачам для самостоятельного изучения

матрицу слева или справа

55

Лекция 5 Системы линейных алгебраических уравнений

Общие сведения о системах линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид

свободные члены l i - известные числа.

Если все свободные члены равны нулю, то систему называют

однородной.

Если матрицу коэффициентов обозначить через A , столбец неизвестных через X , столбец свободных членов через L , то

система примет вид

A X L .

Так может быть представлена любая система.

Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений может иметь:- единственное решение (система совместна и определена);

-более одного решения (система совместна и неопределена);

-не иметь решений (система несовместна).

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов A этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера - Капелли).

Система совместна тогда и только тогда, когда

r A r A m .

56

единственное решение.

Если же ранг совместной системы меньше числа

неизвестных. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система в этом случае имеет бесчисленное множество решений.

Система может и не иметь решений (система несовместна) в

случае r A r A .

Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.

 Замечание однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение

 Это решение не всегда единственно.

Методы решения систем линейных уравнений

Крамер Габриэль (1704-1752) швейцарский математик, родился в Женеве, основные работы относятся к высшей алгебре и аналитической геометрии, установил правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, заложил основы теории определителей.

57

Метод Крамера

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

a11x1 a12 x2 a13x3 b1a21x1 a22 x2 a23x3 b2 ,

a31x1 a32 x2 a33x3 b3.

Здесь a11,a12 , a33 b1,b2 ,b3 - постоянные, x1, x2 , x3 - неизвестные.

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещѐ три определителя следующим образом:

Система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. Это решение может быть найдено по

формулам Крамера:

x1 1 , x2 2 , x3 3

Формулы называют формулами Крамера.

58

и откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы

0 , то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

 Замечание Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем n уравнений с n неизвестными при любом n .

Пример Решить систему уравнений

x 2 y 83x y 3

Ответ: x 2, y 3 .

Если определитель системы А 0 , то система имеет

единственное решение, находящееся по формулам Крамера,

или совместна, или определена

60