Blatov_lek

Пример Найти элементы, лежащие на главной диагонали

 Определение Квадратная матрица, независимо от ее порядка, называется единичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу обозначают E .

 Определение Матрица-строка (матрица-столбец) -

матрица состоящая только из одной строки (столбца):

 Определение Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны нулю.

 Определение Симметрическая матрица –

квадратная матрица элементы которой удовлетворяют условию

aij a ji

11

 Определение Треугольная матрица - квадратная матрица элементы которой, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю, при этом матрица B , где

считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на

12

пересечении соответствующих строк и столбцов, то есть когда aij bij при любых i, j .

 Замечание Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1х1 есть 5.

13

Линейные операции над матрицами Умножение матрицы на число

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

 Замечание Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

14

Свойства умножение матрицы на число

 Замечание Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.

15

Пример Найти сумму матриц:

Свойства суммы матриц

1.A B B A (коммутативный закон)

2.A B C A B C ( ассоциативный закон)

3.Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую

матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу A 0 A .

 Замечание Складывать можно матрицы с одинаковым числом строчек и с одинаковым числом столбцов.

16

сумме произведений элементов i -ой строки матрицы Amn на

j -ый столбец матрицы Bnk , т.е. Cmk cmk , где

n

cmk amj bjk j 1

Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата

Элемент cij матрицы – ответа принадлежащий i -ой строке и j -му столбцу, вычисляется как произведение строки первого сомножителя Amn на j -ый столбец второго сомножителя Bnk .

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Пример Выяснить размерность матрицы D2,3 R3,5 T2,5

Решение

Рассмотрим умножение матриц на примере: A2,3 B3,4 C2,4

18

называются перестановочными по отношению друг к другу.

2.A B C AB AC

3. A E E A A При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется.

Для операции транспонирования верны свойства:

4. A + B T = AT + BT

5. A B T = BT AT

6. k A B A k B k A B .

 Замечание Действия над матрицами можно распространить на случай любого числа слагаемых.

19

Контрольные вопросы к лекции по теме «Матрицы»

1.Дать определение матрицы.

2.Классификация матриц по размерам.

3.Что такое нулевая матрица?

4.Что такое единичная матрица?

5.При каких условиях матрицы считаются равными?

6.Как выполняется операция транспонирования?

7.Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат?

8.Как найти произведение матрицы на число?

9.Когда возможна операция умножения матриц?

10.Какова размерность результата умножения?

11.По какому правилу вычисляется элемент матрицы - результата при перемножении матриц?

12.Какие матрицы называются взаимно обратными?

Задачи для самостоятельного изучения

Даны матрицы

1.Какую матрицу нужно прибавить к матрице A , чтобы получить единичную матрицу E ?

2.Найти A B .

3.Найти 3 A .

4.Найти 5A .

5.Найти 2A 3B 2C.

6.Можно ли умножать матрицы и, если можно, указать

20