Blatov_lek

9. 7x 2y 12 0;

10.

a) 5x y 28 0

,

б) 2x 3y 18 0 ,

в)

0 , г)

4x 3y 11 0 ;

11.

BC:

x y 2 0

CA: 3x 2y 13 0 ,

CN:

4x y 3 0

12.

4

13.

а) при

, б) при

a 3 и arctg

16

, в)

при a 3 и

2

11

где t

- некоторое число, называемое параметром.

Уравнение

называется

векторным

параметрическим

уравнением прямой.

Если

r x, y, z , r0

x0 , y0 , z0 ,

m,n,p ,

S

то можно перейти к уравнения в координатном виде:

x x0

mt

nt .

y y0

z0

pt

z

- параметрическое уравнение прямой, проходящей через

точку M 0 x0 ,y0 ,z0 в направлении вектора a l,m, n .

Изменяя значения t ,

можно получить координаты любой

точки, лежащей на прямой.

Каноническое уравнение прямой

Преобразуем

параметрические

уравнения к следующему

x x0

t

m

y y

0

t.

виду

n

z

z0

t

p

Отсюда

x x0

y y0

z z0

.

m

n

p

Уравнения

называются

каноническими уравнениями

прямой.

Углы, образуемые прямой с осями координат, находят по

формулам

cos

l

, cos

m

,

l 2

m2

n2

l 2 m2 n2

cos

n

.

l 2 m2

n2

Уравнение прямой, проходящей через две точки

В качестве

направляющего

вектора

рассмотрим вектор

a M1M2 , отсюда l x2

x1, m y2

y1, n z2 z1

x x1

y y1

z z1

x

x

2

y

2

y

z

2

z

1

1

1

значение.

За направляющий вектор

s

можно взять вектор

произведения нормальных векторов.

1 A1 , B1 , C1

2 A2 , B2 , C2 :

N

и

N

i

j

k

s

1

2

A1

N

N

B1

C1

A2

B2

C

x0 y0 0 4 0

1

13

0 5

, M

0

;

;0 .

2x0 y0 4

0

3 3

Для

определения

вектора

S

нам

нужны

координаты

еще одной точки M1 на

прямой, тогда в качестве

направляющего

вектора

можно взять вектор M0M1 .

Для

вычисления

координат

M1

берем,

например

z1 1, а x1 и y1 находим из решения системы

x1 y1 1 4 0

, M

2 7

2x1 y1 4 1 5 0

;

;1 .

3 3

Тогда

4

S M0 M1 1;

;1 .

3

1

13

x

y

z 0

3

3

1

4

1

3

i

j

k

1 1

S

1 n1 n2

1

.

2

1

4

Пример Даны канонические уравнения прямой

x 1

y 1

z 3

. Необходимо перейти к общим уравнениям.

1

2

1

Решение

Записываем данные уравнения в виде системы

x 1

y 1

1

2

,

2x 2 y 1

2x y 1 0

z 3

,

z 4

.

x 1

x 1 z 3

x

0

1

1

2

m1m2 n1n2 p1p2

cos

S1

S

S1

S

2

2

2

2

2

2

2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

 Замечание Выделим особо тот частный случай, когда

одна из плоскостей в системе

есть плоскость Oxy , и,

z 0

.

виде:

Ax By

D 0

Рассмотрим

вектор n A, B,0 . Он

расположен в

плоскости Oxy , перпендикулярен к плоскости

Ax By D 0

нулю. Как

уже

отметили, уравнению Ax By D 0

в

плоскости

z 0

соответствует прямая. Поэтому

в

аналитической геометрии на плоскости уравнение

Ax By D 0

прямой в виде

x x1 0,

z z1

y y1

.

n

p

x x1

y y1

z z1

.

0

n

p

x x

y y1

z z1

0

0

p

Пример Составить канонические и параметрические

уравнения прямой, проходящей

через

точку

M1 1;0;2

параллельно вектору s 2i

3j.

Решение

Канонические уравнения:

x 1

y

z 2

.

3

2

0

x 2t 1,

Параметрические уравнения: y 3t,

z 2.

Пример Найдите точку, симметричную данной

M 0;3; 2 относительно прямой

x 0.5

y 1.5

z 1.5

.

0

1

1

Решение

Составим уравнение плоскости

перпендикулярной l .

n s 0, 1,1 .

Следовательно,

:0 x 0 y 3 z 2 0

или

y z 1 0 .

x 0.5

y 1.5

z 1.5

x 0.5,

t,

y t

1.5,

1

0

1

z t 1.5,

y z 1 0.

t 1.5 t 1.5 1 0.

x 0.5,

0.5,

y

0.5,

z

t 1.

Итак, N 0.5; 0.5;0.5 .

Пусть искомая точка M1 имеет координаты M1 x, y, z .

Тогда очевидно равенство

векторов

MN NM1 , ,

т.е.

0.5;2.5;2.5 x 0.5; y 0.5; z 0.5 . Откуда x 1, y 2, z 3

или M1 1;2;3 .

1.

Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через точку

M 2;0;3

параллельно:

а)

вектору

a 2; 3;5 , ,

б) прямой

x 1

y 2

z 1

,

в) оси

5

2

1

Ox .

2.

Написать канонические и

параметрические уравнения

x 2 y 3z 4 0

прямой

.

3x 2 y 5z 4

0

3x 2 y z 1 0

3.

Спроецировать

прямую

на

2x 3e 2z

2 0

плоскость x 2y 3z 5 0.

4.

Через

точку

М

(2; -

3;

1) провести

прямую,

2 y z 1 0

перпендикулярную

прямым

и

2x y 4z 2

0

3x 2z 6 0

3z

.

x y

3 0

5.

В плоскости XOZ найти прямую, перпендикулярную к

прямой

x 2

y 1

z 5

и проходящую через начало

2

3

1

координат.

x 2z 1 0

6.

Найти

угол между

прямой

и

прямой,

y 2z 1 0

проходящей

через

начало

координат и

через

точку

M 1; 1; 1 .

7.

Написать уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

x 2 y z 4 0

M 4;3;0 и параллельной прямой

2x y z 0

а) параллельную оси OZ;

б) параллельную прямой

x 1

y 2

z 3

;

4

6

9

2x y 3z 1 0

.

в) параллельную прямой

5x 4 y z

7

0

10. Проверить, пересекаются ли прямые:

а)

x 1

y 7

z 5

и

x 6

y 1

z

;

2

1

4

3

2

1