Blatov_lek

Ответы к задачам для самостоятельного изучения

1.а) две прямые y 2x , б) точка (0,0) , в) мнимая окружность, г) точка (3,4) , д) две прямые x 0 , y x , е) две прямые y 4 ;

4. в) y12 25x1 , г)две прямые x 2y 3 1

161

Положение точки M на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки O образуемым отрезком OM с положительным направлением прямой Ox . Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и называются полярными координатами точки M , причем r называется радиус-вектором, - полярным углом. Прямая Ox называется полярной осью, а

точка O - полюсом полярной системы координат.

 Определение Полярная система координат –система координат, ставящая в соответствие каждой точке на

плоскости пару чисел r, , определена заданием некоторой

точки O , называемой полюсом, луча ОМ, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения

длин.

Если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки M выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки M выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

r2 x2 y2

tg yx

163

Декартовы координаты выражаются через полярные координаты такими формулами

x r cosy r sin

по ее уравнению соответствующие значения r .

164

Каждой из полученных пар чисел r, соответствует в

плоскости полярной системы координат единственная точка. Построив и соединив их плавной линией, получим кардиоиду.

координат называют трѐхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путѐм добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаѐт высоту точки над плоскостью.

Точка P даѐтся как , , z рекомендует использовать международный стандарт ISO 31-11.

Втерминах прямоугольной системы координат:

0 — расстояние от O до P', ортогональной

проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z.

0 3600 — угол между осью X и отрезком OP'.

z равна аппликате точки P

Некоторые математики используют , , z .

165

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии.

 Замечание Бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение

x2 y2 c2 ,

ав цилиндрических — очень простое уравнение

с .

Отсюда и идѐт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Цилиндрическая система координат — только одна из многих трѐхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

x r cosy r sin

z z

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым координатам:

r2 x2 y2

arctg( y )

xz z

166

Сферическая система координат

Сферическкую систему координат удобно определять соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат.

 Определение Сферическими координатами

называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трѐх измерениях

посредством задания трѐх координат ,

где r — расстояние до начала координат, а θ и — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии.

Зенит - это направление вертикального подъѐма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения),

принадлежащей фундаментальной плоскости.

В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость в которой лежит экватор, или плоскость в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т.д., что порождает разные системы небесных координат.

167

Азимут - угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость, это плоскость xy. Зенит - некая удалѐнная точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат.

Тогда, углы θ и не имеют значения при r = 0, так же как и в первом случае, а не имеет значения при sin(θ) = 0, так же как и в первом случае, (но уже при или

).

Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиусвектора r на плоскость xy.

Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближѐнным) множества видов систем небесных координат. Три координаты

определены как:

— расстояние от начала координат до

заданной точки P.

— угол между осью Z и отрезком,

соединяющим начало координат и точку P.

— угол между осью X и проекцией

отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY (в Америке углы θ и меняются ролями).

Угол θ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а так же он может быть назван английским словом colatitude, а угол — азимутальным.

Углы θ и не имеют значения при r = 0, а не имеет значения при sin(θ) = 0 (то есть при θ = 0 или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла θ, используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость

168

xy и самим радиус-вектором r, и равный - θ. Он называется углом подъѐма и может быть обозначен той же буквой θ. В этом случае он будет изменяться в пределах

.

Переход от сферических координат к декартовым:

От декартовых к сферическим:

От сферических к цилиндрическим:

От цилиндрических к сферическим:

169

5.Написать в полярных координатах уравнение прямой, отсекающей от полярной оси отрезок " a " и перпендикулярной к ней.

6.Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке C 0; a и радиусом, равным " a ".

7.Преобразовать к полярным координатам уравнения линий:

8.Преобразовать к декартовым координатам уравнения линии и построить эти линии:

а) r cos a ,б) r 2asin , в) r 2 sin 2 2a2 .

9. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:

170