Blatov_lek

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F1 и F2 , начало координат находится в середине отрезка F1F2 .

Если обозначить расстояние между фокусами F1 и F2 через 2c , тогда координаты фокусов будут соответственно c;0 и

c;0 .

Пусть M x, y - текущая точка эллипса.

Обозначим сумму расстояний F1M и F2 M через 2a ( a c по правилу треугольника), т.е.

F1M F2 M 2a ,

или

x c 2 y2 x c 2 y2 2a

- уравнение эллипса.

Приведем его к более простой для исследований форме:

x c 2 y2 2a x c 2 y2 ,

x2 2cx c2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x2 2cx c2 y2 , a2 cx a x c 2 y2 ,

a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение

Уравнение называют каноническим уравнением эллипса и c a2 b2 .

131

 Замечание Так как в процессе преобразований дважды возводились в квадрат обе части уравнения, то необходимо проверить, не получены ли "лишние" точки.

симметрии эллипса и, следовательно, начало координат является центром симметрии эллипса.

Рассмотрим часть эллипса, расположенную в первой четверти, для которой можем записать уравнение в виде:

132

Если изменяется величина с, то меняется форма эллипса, а

характеристикой сжатия эллипса.

 Определение Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси.

ac

Форма эллипса зависит от b

a

Замечание Так как c a , то 1 у эллипса.

с2 a2 b2

чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут, в

случае окружности 0 .

уравнение эллипса.

 Определение Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно

a

центра на расстоянии от него называют директрисами

эллипса.

x a

133

Точки пересечения эллипса с осями симметрии

A, B, A B называют вершинами эллипса.

Свойства эллипса

1.Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса).

2.Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков,

образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2a и 2b ( 2a 2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а

вторая главная ось – малой осью.

3. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

xa, y b .

4.Эксцентриситет эллипса e 1.

5.Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно ae ,

прямоугольнике x a, y b )

6.Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi

красстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

134

Доказательство

Расстояния от точки M (x, y) до фокусов эллипса можно представить так: r1 a ac x a ex, r2 a ac x a ex

Составим уравнения директрис:

Центр эллипса находится в точке O(1, 34) .

 Замечание Из канонического уравнения эллипса легко заключить, что эллипс можно задать в параметрической форме.

135

Применяя формулу расстояния между двумя точками, имеем

число b - мнимой полуосью.

Отметим, что согласно уравнению гипербола симметрична относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат. Т.к. из канонического уравнения гиперболы

то нет точек кривой в полосе a x a .

Кривая состоит из двух отдельных частей - ветвей гиперболы, лежащих в областях x a и x a .

137

Можно показать, что при x ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямым y ba x , не пересекая

этих прямых.

Эти две прямые называются асимптотами гиперболы.

 Определение Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

ac

Замечание Так как c a , то 1 у гиперболы.

с2 a2 b2 ,

Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник

Точки пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы.

 Определение Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает и расположенные

равнобочной.

Замечание В системе координат, оси которой совпадают

сасимптотами - равнобочные гиперболы. Она имеет уравнение

138

Свойства гиперболы

1.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ox для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Oy ). По обе стороны от нее

расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2.Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

139

4.Эксцентриситет гиперболы e 1.

5.Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу

директрисы равно эксцентриситету гиперболы. Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Пример Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы

9x2 16y2 144 .

Решение

Приведем данное уравнение к каноническому виду

(разделив его на 144): x2 y2 1.

16 9

директрис x 165 .

Парабола

140