Blatov_lek

a21 M21 a22 M22 a21 a12 a22 a11 a11 a22 a12 a21

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго

порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

31

Решение

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

2 10 0 3 5 0 1 0 20 15 1 34

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители n 1 - го порядка.

Замечание Это свойство позволяет вычисление

определителя n -го порядка свести к вычислению n определителей - n 1 го порядка.

32

5. Если все элементы какой-нибудь строчки (или столбца)

матрицы А n -го порядка умножить на число k , то определитель умножится на то же число (или общий множитель для элементов какой-нибудь строчки (или столбца) матрицы n - го порядка можно выносить за знак определителя).

k a11 a22 a33 k a13 a21 a32 k a12 a23 a31k a13 a22 a31 k a12 a21 a33 k a11 a23 a32

k a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31a12 a21 a33 a11 a23 a32

6.Сумма произведений элементов одной строчки матрицы

Аn -го порядка на алгебраические дополнения

соответствующих элементов другой строчки равна нулю.

a j1 Ai1 a j2 Ai2 a jn Ain 0 при j i

33

Если матрицы А n -го порядка имеет две пропорциональные строчки (или столбца), то ее определитель равен нулю.

7. Определитель матрицы А n -го порядка не изменится, если к элементам одной ее строчки прибавить соответствующие элементы другой строчки, умноженные на одно и то же произвольное число.

8. Если каждый элемент столбца или строки представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у одного из которых соответствующий столбец составлен из первых слагаемых, а у второго – из вторых.

Решение

Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу.

Для этого найдем A32 и A42 :

34

x 3 4 x 4 3 x 4 3 x 4 x 4 0 .x 3 x 4 4 x 4 0 .

x 4 x 1 0

x1 4, x2 1

Методы вычисления определителей

-для численных определителей – получение нулей в какой-нибудь строчке и сведение к одному определителю на единицу меньшого порядка

-преобразование матрицы определителя к треугольному

виду.

35

вычтем из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на xn .

Последняя строчка будет иметь вид:1,0,0, ,0 , а

произвольная строчка будет

1, xi xn , xi xi xn , xi2 xi xn , , xin 2 xi xn

Разлагая полученный определитель по элементам последней строчки, получим

Вынесем из строчек общий множитель

x1 xn , x2 xn , , xn 1 xn

36

Wn xn x1 xn x2 xn xn 1 Wn 1

С определителем Wn 1 можно поступить также, и тогда

Wn xn x1 xn x2 xn xn 1 xn 1 x1 xn 1 x2

xn 1 xn 1 x2 x1 xi x j

n ij 1

37

Контрольные вопросы к лекции «Теория определителей»

1.У каких матриц может быть найден определитель?

2.Как вычислить определитель второго порядка?

3.Что такое минор?

4.Что является алгебраическим дополнением элемента матрицы?

5.Как вычисляется определитель n-го порядка

6.Перечислите свойства определителей

7.Какой вид имеет определитель Вандермонда?

Ответы к задачам для самостоятельного изучения

1.0;

2.8;

3.-4;

4.-82;

5.39;

6.- 20;

7.-492.

38

Решение

Все миноры второго и третьего порядков данной матрицы равны нулю, т.к. элементы строк этих миноров пропорциональны.

Миноры первого порядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы равен 1.

Решение

Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и четвертый столбцы, получим минор

7 0 14 0 .

5 2

Ранг матрицы равен 2.

Решение

Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы C , но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r C 3 .

Для того, чтобы доказать, что r C 2 , достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например,

40