§11. Схема Бернулли

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Замечание.Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то событияАво всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Пусть теперь производится nнезависимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью pможет наступить некоторое событиеА. Требуется найти вероятностьР_n(к)того, что вnопытах событиеАнаступит ровнокраз (событиеВ).

Описанная схема называется схемой независимых испытаний,илисхемой Бернулли,по имени швейцарского математика концаXVIIи началаXVIIIвека Якоба Бернулли, изучавшего её.

Найдем вероятность Р_n(к). СобытиеВможно представить в виде суммы ряда элементарных событий – вариантов событияА. Каждый вариант событияАможно записать в виде строки длинойn(число опытов), в которойккомпонент соответствуют событиюА, а остальныеn-ккомпонент событию. Например, один из возможных вариантов есть

(успех и 1,2,…,k-м опытах и неудача в остальных).

Число всех вариантов равно (числу сочетаний изnэлементов пок), а вероятность каждого варианта в виду независимости опытов равнар^кq^n-к( гдеq=1-р ). Отсюда вероятность событияВбудет равна

. (1)

Формула (1) носит название формулы Бернулли.

Отсюда следует, что вероятность, хотя бы одного появления события Априnнезависимых испытаниях (опытах) в одинаковых условиях равна

(2)

Пример 1. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом 3 раза?

Решение. В данном случае событиемАсчитается выпадение герба, вероятностьpэтого события в каждом опыте равна. Отсюда

P=.

Для наглядности условимся каждое наступление события Арассматривать как успех. Если зафиксироватьn, то,Р_n(к). есть функция аргументак, принимающая значения. Выясним, при каком значениикфункция Р_n(к)принимает наибольшее значение, т.е., какое число успеховк₀являетсянаиболее вероятнымпри данном числе опытовn. Оказывается что числок=к₀можно определить из двойного неравенства.

(3)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если np+pне является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значениек₀. Если жеnp+p– целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и.

Пример 2. Игральную кость бросают 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений грани «6» ?

Решение.В данном случаеn= 20, откуда. Посколькуnр + рне целое число, то наибольшим среди чиселР₂₀(0),Р₂₀(1),…,Р₂₀(20) будет числоР₂₀(3). Следовательно, наиболее вероятное число выпадений грани «6» будет 3. Найдём, чему равна вероятность такого числа выпадений. По формуле Бернулли имеет:

.

Из формулы (3) видно, что одно из двух ближайших к nр целых чисел является наиболее вероятным числом успехов.

Оказывается, число nрдопускает и другую интерпретацию. А именно:nрможно рассматривать, в определенном смысле, каксреднее число успехов в n опытах. Будем исходить из частотного истолкования вероятности. Назовем (для краткости)n- кратное повторение данного опыта серией. Пусть мы произвелиNсерий. Пусть в первой серии было полученок₁успехов, во второй –к₂, ….., вN-ой –к_N. Составим среднее арифметическое этих чисел

. (4)

Равенство (4) - есть среднее число успехов в N сериях. Оказывается, что с увеличениемNуказанное среднее арифметическое приближается к некоторому постоянному значению, а именно к числуnp.

Действительно запишем (4) в виде:

. (5)

Поскольку каждая серия состоит из nопытов, то производяNсерий мы осуществляем данный опыт раз.

Написанная дробь (5) со знаменателем Nnесть нечто иное как отношение общего числа успехов в этих опытах к числу всех опытов. С увеличениемN(а значит, иNn) эта дробь будет приближаться к числур- вероятности успеха. Следовательно, число (4) будет приближаться крn, что и требовалось получить.

Пример 3. Станок штампует изделия. Вероятностьрбрака одного изделия равна 0,05. Чему равно среднее число бракованных изделий на сотню?

Решение. Искомое число бракованных изделий равно:.

Замечание 1.Можно рассмотреть более общую схему независимых испытаний. Рассмотримnнезависимых испытаний (в различных условиях), причём вероятность событияА(«успеха») вi-ом опыте равнаp_i,aq_i=1-p_i – вероятность неуспеха вi-м испытании (i=1,2,…,n ). Тогда можно показать, что вероятностьP_n(к)того, что событиеАпоявится в этихnопытах ровнокраз, равна коэффициенту приz^k в разложении по степенямzфункции

. (6)

Такую схему независимых испытаний называют схемой Пуассона. Схема Пуассона приp_i=pпревращается в схему Бернулли. ВероятностиP_n(к)в схеме Пуассона не записываются в компактном виде аналогичной формуле(1). Из (6) , например, следует:

Замечание 2.Схемы Бернулли и Пуассона допускают обобщение на тот случай, когда в результате каждого опыта возможные не два исхода (Аили), а несколько исходов.

Если производится n независимых опытов (схема Бернулли) причём каждый опыт может иметькисключающих друг друга исходов , с вероятностями , то вероятность того, что вm₁опытах появится событиеА₁, вm₂опытах событиеА₂и т.д., вm_kопытах событиеА_к выражается формулой

(7)

Если условия опыта различны (схема Пуассона), т.е.

в i-ом опыте событие A_j имеет вероятностьp_ji (i=1,2,…,n;j=1,2,…,k), то вероятность вычисляется как коэффициент при члене в разложении по степеням функции:

(8)

Пример 4.Завод изготавливает изделия, каждое из которых подвергается четырём видам испытаний. Первое испытание изделия проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе с вероятностью 0,95; третье-0,8 и четвертое-0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно:

1. все четыре испытания

2. ровно два испытания (из четырех)

3. не менее двух испытании (из четырех)

Решение.В условиях задачи проводятся четыре независимых опыта (испытания) в различных условиях. Вероятность события.А– испытание прошло благополучно, в каждом опыте разное. Искомые вероятности находим из формулы (6)

Отсюда получаем: