- •А.В. Ряднов, в.В. Трубаев, т.В. Меренкова
- •Теория вероятностей
- •Учебное пособие
- •Москва - 2013
- •Оглавление
- •Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.
- •§1. Предмет теории вероятностей. Случайные события.
- •Задачи:
- •§4. Формула сложения вероятностей
- •§5. Аксиоматический подход к теории вероятностей
- •I. Аксиомы событий
- •II. Аксиомы вероятностей
- •§6. Классическая схема теории вероятностей
- •§7. Геометрические вероятности
- •§8. Условная вероятность. Независимость случайных событий.
- •§9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •§10. Комбинаторика.
- •§11. Схема Бернулли
- •§12. Вероятности Pn(к) при больших значениях n. Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.
- •Глава II. Случайные величины и их
- •Характеристики
- •§1. Случайная величина и её функция
- •Распределения
- •§2. Дискретные случайные величины
- •§3. Непрерывные случайные величины
- •§ 4. Функции от случайной величины.
- •§ 5. Системы случайных величин.
- •1. Двумерные дискретные случайные величины.
- •2. Непрерывные системы случайных величин.
- •§ 6. Независимые случайные величины.
- •§ 7. Математическое ожидание случайной величины.
- •1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2. Математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность вероятности.
- •§8. Дисперсия случайной величины.
- •§9. Корреляционный момент и корреляция случайных величин
- •Глава III. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •§ 1. Неравенство Чебышева.
- •§2. Закон больших чисел.
- •Полезное заключительное замечание о практическом значении изложенных выше теорем.
- •§ 3. Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.
- •Задачи по теории вероятностей
- •Индивидуальные задания № 1 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 1
- •Индивидуальные задания № 2 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 2
- •Степени числа e
- •150048, Ярославль, Московский пр-т, д. 151,
§6. Классическая схема теории вероятностей
Рассмотрим частный случай, когда множество
Ω – пространство элементарных событий, является конечным множеством.
Пусть элементы этого множества (элементарные события) есть. Согласно схеме §5 любое событиеАесть подмножество в Ω, т.е.
Тогда, поскольку - попарно несовместны, получаем
. (1)
Значит, чтобы знать вероятность события Анадо знать - вероятности элементарных событий.
Рассмотрим частный (классический) случай когда все числа равны между собой: . Другими словами, все элементарные исходы (события) опытаравновероятны.Тогда, поскольку
-достоверное событие,
получаем
и значит .
Значит из формулы (1) получаем: если событие Апредставляется в виде суммыкравновероятных элементарных событий, то его вероятность будет равна
(к- слагаемых)
Или
. (2)
Формула (2) позволяет решать многие задачи для нахождения вероятностей. В соответствии со сказанным, её применяют в тех случаях, когда для данного опыта можно указать группу из конечного числа событий со следующими свойствами:
1. В результате опыта каждый раз наступает одно и только одно из этих событий
2. Указанные события по условиям данного опыта равновероятны.
При выполнении этих условий вероятность события Авычисляется по формуле (2)
Обычно события - называют элементарными исходами (случаями), а те элементарные исходы, которые в сумме составляютА, называют благоприятными исходами для событияА. В этой терминологии формула (2) читается так: вероятность событияАравна отношению числа благоприятных для событияАисходов к числу всех (элементарных) исходов.
Пример 1. В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 чёрных. Из урны наудачу извлекают шар. Какова вероятность, что он окажется чёрным ( событиеА)
Решение: Представим себе, что шары снабжены номерами 1,2,…,10. Обозначим черезследующее событие: извлечение шара с номеромi . Тогда событиябудут элементарными исходами. Действительно, при каждом осуществлении опыта, наступает одно и только одно из них, а слово « наудачу» в формулировке задачи служит указанием на то, что все событияравновероятны. Интересующему нас событиюАблагоприятны шесть исходов. Значит в данном случаеn=10,k=6 и значит .
Замечание.При решении этой задачи мы использовали подробные (громоздкие) рассуждения. При соответствующем навыке можно рассуждать короче, например, так: из 10 возможных случаев событиюА благоприятны 6, следовательно, .
§7. Геометрические вероятности
В §5 была рассмотрена система аксиом теории вероятностей. Конкретные реализации этой системы, возникающих при решении практических задач, могут быть различными.
Так в классической схеме (§6) рассмотрена реализация, когда пространство Ω элементарных событий есть множество, состоящее из конечного числа nэлементов, причем вероятности этих элементов одинаковы. Рассмотрим ещё один наглядный пример реализации этой системы.
Пусть Ω есть некоторая область на прямой, плоскости или в пространстве. Условимся называть событиями всевозможные подмножества в Ω (которые можно измерить – т.е. найти их длину, площадь, объём). Каждому событию Апоставим в соответствии его вероятность по формуле
, (1)
где обозначает меру множестваА. Все аксиомы – как для событий, так и для вероятностей (см. §5) будут в этом
случае выполнены.
Особенностью этой модели является её геометрический характер: при этом существенно, что вероятности Р(А) определяются не конкретно формой множестваА и его расположением в Ω , а единственно его мерой .
К указанной выше геометрической схеме сводится довольно большой круг задач. В каждой из них элементарные события можно трактовать как случайный выбор точки в некоторой области Ω. При этом, условия задачи должны быть такими, чтобы все точки в Ω можно было считать «равноправными» (в смысле возможности их выбора).
Отметим одно следствие в этой (геометрической) схеме, не имеющего аналога в классической схеме.
Точка ω в Ω является элементарным событием и значит, исходя из формулы (1), получаем .
Итак, вероятности элементарных событий равны нулю. Тем не менее, эти события возможны: мы предполагаем, что можно попасть в любую точку ωобласти Ω.
Как можно истолковать такое явление?
В § 2 мы условились считать очень маловероятные события практически невозможными. Тем более следует считать практически невозможными события нулевой вероятности.
Итак, попадание в данную геометрическую точку ωнадо рассматривать, как событие практически невозможное, хотя теоретически оно и может произойти.
В качестве примера рассмотрим следующую «задачу о встрече».
Пример.Между 12-ью часами и часом дня должен произойти в случайный момент звонок квартирного телефона, причём вызывающий ждёт 10 минут. В течение этого же часа хозяин квартиры заходит домой в случайный момент и остается дома в течение 30 минут. Какова вероятность, что разговор состоится (событиеА).
Решение. Тот факт, что звонок происходит в моменту, а хозяин квартиры приходит в моментх, можно изобразить точкой плоскости с координатами (х;у); при этом будем отсчитыватьх иув минутах от 12 часов. Тогда все возможные комбинации вызова и прихода (элементарные исходы) изобразятся точками квадрата Ω:(см. рис.1). Поскольку, моменты звонка и прихода случайны и не зависят друг от друга, то все точки (элементарные исходы) в квадрате можно считать равноправными (в смысле возможности их выбора). Выясним теперь, какие точки (х;у) благоприятствуют событиюА(«разговор состоялся»). Разговор может состояться лишь в том случае, если момент звонка не больше чем на тридцать минут раньше момента прихода и не меньше чем на 10 минут позже прихода, т.е..
Итак, область G квадрата, благоприятствующая А, состоит из точек (х;у), координаты которых удовлетворяют
неравенствам ,, то есть из точек, лежащих между прямыми(см. рис 1).
Площадь квадрата равна 3600; вычитая площади двух угловых треугольников, находим, что, площадь области G равна
Рис.1
Отсюда получаем искомую вероятность
.