- •А.В. Ряднов, в.В. Трубаев, т.В. Меренкова
- •Теория вероятностей
- •Учебное пособие
- •Москва - 2013
- •Оглавление
- •Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.
- •§1. Предмет теории вероятностей. Случайные события.
- •Задачи:
- •§4. Формула сложения вероятностей
- •§5. Аксиоматический подход к теории вероятностей
- •I. Аксиомы событий
- •II. Аксиомы вероятностей
- •§6. Классическая схема теории вероятностей
- •§7. Геометрические вероятности
- •§8. Условная вероятность. Независимость случайных событий.
- •§9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •§10. Комбинаторика.
- •§11. Схема Бернулли
- •§12. Вероятности Pn(к) при больших значениях n. Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.
- •Глава II. Случайные величины и их
- •Характеристики
- •§1. Случайная величина и её функция
- •Распределения
- •§2. Дискретные случайные величины
- •§3. Непрерывные случайные величины
- •§ 4. Функции от случайной величины.
- •§ 5. Системы случайных величин.
- •1. Двумерные дискретные случайные величины.
- •2. Непрерывные системы случайных величин.
- •§ 6. Независимые случайные величины.
- •§ 7. Математическое ожидание случайной величины.
- •1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2. Математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность вероятности.
- •§8. Дисперсия случайной величины.
- •§9. Корреляционный момент и корреляция случайных величин
- •Глава III. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •§ 1. Неравенство Чебышева.
- •§2. Закон больших чисел.
- •Полезное заключительное замечание о практическом значении изложенных выше теорем.
- •§ 3. Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.
- •Задачи по теории вероятностей
- •Индивидуальные задания № 1 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 1
- •Индивидуальные задания № 2 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 2
- •Степени числа e
- •150048, Ярославль, Московский пр-т, д. 151,
§2. Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд теорем, объединённых общим названием, «закон больших чисел». Основная из этих теорем принадлежит самому Чебышеву.
Теорема Чебышева.Пустьξ1,ξ2…- последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной и одно и тоже математическое ожидание (среднее значении):
Mξ1=Mξ2=…=m,Dξ1<c,Dξ2<c, … .
Тогда, каково бы ни было положительное число >0, вероятность события
стремится к единице при n→, т.е.
.
Доказательство.Положим
.
В силу свойств математического ожидания имеем:
.
Далее, так как величины ξ1,ξ2.,…ξn независимы, то
.
Применим теперь к случайной величине η неравенство Чебышева:
P(|Sn–MSn|<ε)>1-
или
1P(|Sn–m|<ε)1-.
Правая часть неравенства стремится к 1 при n; тем более стремится к 1 левая часть, а это и требовалось доказать.
Поясним содержание теоремы Чебышева на важном примере.
Пусть требуется измерить значение mнекоторой физической величины. В силу неизбежных при измерении ошибок результат измерения будет случайной величинойξ. Её математическое ожидание будет совпадать с измеряемой величинойm, а дисперсия равна некоторой величинеD (характеризующей точность измерительного прибора). Произведёмnизмерений в одинаковых условиях, что обеспечивает независимость результатов. Результатк-го измерения есть некоторое случайное числоx(k), этим задана случайная величинаξk . Совокупность величинξ1,…,ξnпредставляет собой системуnнезависимых случайных величин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величинаξ. После серии изnизмерений составим среднее арифметическое изnнаблюдаемых значений
то есть значение случайной величины.
.
Теорема Чебышева утверждает, что экспериментальное среднее Zn«почти достоверно» оказывается близким к теоретическому среднему значениюm(истинное значение физической величины) искомой физической величины, если только число испытанийnдостаточно велико.
Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве её значения берётся среднее арифметическое полученных результатов измерений.
Замечание.Близость кMξсреднего арифметического опытных значений величиныξуже нами показывалось при введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным величинам; кроме того, высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Чебышева даёт точную характеристику близости среднего арифметического кMξ, и при том для любой случайной величины (строго доказывается, исходя из аксиом теории вероятностей).
Из теоремы Чебышева в качестве следствия можно получить другую важную теорему, которая впервые была доказана Я. Бернулли и опубликована в 1713 году.
Теорема Бернулли. Пусть производитсяnнезависимых опытов, в каждом из которых с вероятностьюpможет наступить некоторое событиеА. Рассмотрим случайную величину – число наступления событияАв nопытах. Тогда, каково бы ни было положительное число ε > 0, вероятность события
стремится к единицeприn→, т.е.
.
Иначе говоря, как бы ни было мало ε, с увеличением числа опытов становится сколь угодно достоверным тот факт, что частота наступления событияАотличается от вероятности этого события меньше, чем наε.
Доказательство. Выведем теорему Бернулли из теоремы Чебышева. Заметим (см. § 7 гл.II), что
,
где есть число наступлений событияАвi-м опыте (i=1,2,..,n).
Случайные величины имеют один и тот же закон распределения:
Значение |
0 |
1 |
Вероятности |
q |
p |
где . Для каждой из них математическое ожидание равноp, а дисперсияpq. Таким образом, все условия теоремы Чебышева выполняются, и для среднего арифметического величин, т.е. длясправедливо соотношение
.
Тем самым мы доказали теорему Бернулли.
Замечание.Отметим попутно следующий полезный факт.
Поскольку
,
,
то неравенство Чебышева, применительно к случайной величине , даёт:
. (1)
Мы получаем оценку( хотя и весьма грубую) длявероятности отклонения частоты события А в серии из n опытов от вероятности события А в одном опыте.
Экспериментатор
|
Число nбросаний |
-число выпадений герба |
Частота выпадения герба |
Ж.Бюффон (XVIII.) К. Пирсон К. Пирсон |
4040 12000 24000 |
2048 6019 12019 |
0,507 0,5016 0,5005 |