- •А.В. Ряднов, в.В. Трубаев, т.В. Меренкова
- •Теория вероятностей
- •Учебное пособие
- •Москва - 2013
- •Оглавление
- •Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.
- •§1. Предмет теории вероятностей. Случайные события.
- •Задачи:
- •§4. Формула сложения вероятностей
- •§5. Аксиоматический подход к теории вероятностей
- •I. Аксиомы событий
- •II. Аксиомы вероятностей
- •§6. Классическая схема теории вероятностей
- •§7. Геометрические вероятности
- •§8. Условная вероятность. Независимость случайных событий.
- •§9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •§10. Комбинаторика.
- •§11. Схема Бернулли
- •§12. Вероятности Pn(к) при больших значениях n. Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.
- •Глава II. Случайные величины и их
- •Характеристики
- •§1. Случайная величина и её функция
- •Распределения
- •§2. Дискретные случайные величины
- •§3. Непрерывные случайные величины
- •§ 4. Функции от случайной величины.
- •§ 5. Системы случайных величин.
- •1. Двумерные дискретные случайные величины.
- •2. Непрерывные системы случайных величин.
- •§ 6. Независимые случайные величины.
- •§ 7. Математическое ожидание случайной величины.
- •1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2. Математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность вероятности.
- •§8. Дисперсия случайной величины.
- •§9. Корреляционный момент и корреляция случайных величин
- •Глава III. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •§ 1. Неравенство Чебышева.
- •§2. Закон больших чисел.
- •Полезное заключительное замечание о практическом значении изложенных выше теорем.
- •§ 3. Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.
- •Задачи по теории вероятностей
- •Индивидуальные задания № 1 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 1
- •Индивидуальные задания № 2 по Теории вероятностей
- •Задачи индивидуальных заданий № 2
- •Степени числа e
- •150048, Ярославль, Московский пр-т, д. 151,
1. Двумерные дискретные случайные величины.
Пусть на вероятностном пространстве (Ω,S,P) заданы дискретные случайные величины, тогда двумерную случайную величинубудем называть дискретной.
Пусть - все возможные значения,- все возможные значения. Как мы уже знаем, с помощью вероятностейиопределяются законы распределения случайных величинξиη. Ясно, что возможные значения двумерной случайной величинысодержатся среди парточек на плоскости. Рассмотрим вероятности
Тогда с помощью этих вероятностей можно найти вероятность, гдеВ- произвольное множество точек плоскости, а именно:
. (3)
Отсюда вытекает, что исчерпывающей характеристикой (законом распределения) двумерной дискретной системы может служить таблица
… |
… | ||||
… |
… | ||||
… |
… | ||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… | ||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Эта таблица называется совместным законом распределения случайных величин ξиη.
Из определения следует, что
и . (4)
Любая таблица такого вида задает некоторый закон совместного распределения пары случайных величин, который и называется двумерным законом распределения.
Из двумерного закона распределения можно получить одномерные законы распределения для ξ и для η:
, (5)
поскольку событие является суммой несовместных событий, а событиесуммой несовместных событий.
Законы распределения (5) иногда называются маргинальными законами первоначального двумерного распределения.
Пример.В урне лежат четыре шара , 2 белых, 1 чёрный и 1 синий. Из урны наугад извлекают два шара (без возвращения) Пустьξ- число чёрных, аη- число синих шаров в выборке. Составить для системызакон распределения.
Решение.В данном случае возможные значения дляиηесть 0 и 1 . Имеем:
(событие () наступает только при одном изисходов опыта),(событие () наступает только при двух исходах),
Искомый закон распределения задаётся следующей таблицей:
0 |
1 | |
0 | ||
1 |
2. Непрерывные системы случайных величин.
Так же как и раньше мы определим двумерную непрерывную случайную величину как такую случайную величину, функция распределения которойнепрерывна.
С помощью функции можно найти вероятность любого события вида
, (6)
т.е. вероятность попадания точки с координатами в прямоугольникQвида
(Рис.1)
Для этого применим к событиям иформулу сложения вероятностей:
Если теперь учесть, что события и (6) несовместны и в сумме составляют событие, то будем иметь:
что и решает поставленную задачу.
Перечислим ряд свойств функции . Их доказательство проводится так же, как и в случае одной случайной величины .
1. F(x2,y2)+F(x1,y1)-F(x1,y2)-F(x2,y1)≥0, еслих1≤х2, у1≤у2это следует из (7)
2. F(x, y)является неубывающей функцией по каждому из аргументов.
3. F(x, y)непрерывна слева по каждому из аргументов.
4. F(x, y)удовлетворяет соотношениям:
F (+∞, +∞ ) =F(х, y )=1,
Свойства 1-4, как можно показать, являются характеристическимисвойствами функции распределения. Это значит, что любая функцияF(х, у), удовлетворяющая свойствам 1-4, является двумерной функцией распределения для некоторой системы случайных величин (ξ ,η).
Рассмотрим наиболее важный класс систем (ξ,η) с непрерывным распределением, для которых существует плотность вероятности.
Определение. Двумерная случайная величина (ξ,η) с функцией распределенияF(x,y)имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функция
p(x, y) такая, что
F(x, y)=. (8)
Функция p(х,у)называется двумерной плотностью распределения (или плотностью вероятности) системы (ξ, η).
Из определения плотности p(x, y) следуют её свойства.
p(х,y)≥0,. (9)
Функция p(х,у), удовлетворяющая (9), может быть плотностью некоторого распределения с функцией распределения, заданной формулой (8).
Из формулы (8) следует, что
p(х,у)=. (10)
Заметим, что в случае непрерывного распределения, вероятность события ( (ξ,η) Г), где Г-кривая на плоскости, равна нулю.
Из определения также следует, что
Fξ(x)=.
В случае существования плотности формула (7) преобретает наглядный вид:
P(x1≤ξ≤x2, y1≤η≤y2)=, (11)
где Q- прямоугольник (см. рис.1).
Из формулы сложения вероятностей и определения двойного интеграла, отсюда следует, что вероятность попадания точки с координатами (ξ,η) в заданную (измеримую) область произвольной формы Gбудет равна
P(()G)=. (12)
Примером многомерной плотности служит плотность p(x,y)равномерного распределения на областиGконечной площадиμ(G) в плоскости, задаваемая равенством
p(x,y)=
Если Вкакая то область на плоскости, то вероятность
P((ξ,η)B)) в этом случае определяется отношением площадейB∩GиG:
. (13)
По этой формуле вычисляются, так называемые, геометрические вероятности(см. §7 гл.1).