Полезное заключительное замечание о практическом значении изложенных выше теорем.

В каждой области человеческой деятельности, как правило, существует определенный «уровень значимости» вероятностей, т.е. такое граничное число α, что события, имеющие вероятность, меньшую α, считаются практически невозможными. Если в качестве примера взять производство изделий бытового назначения, то указанный уровень будет находиться где-то в пределах 0,01-0,001. Действительно, известие о том, что вероятность брака в изделии имеет порядок 0,001, не заставит покупателя отказаться от покупки изделия; вероятность 0,001 мала настолько, что можно рассматривать (событие) бракованную лампу, пылесос, велосипед и.т.п. как практически невозможное явление. Однако та же самая вероятность 0,001 уже не устроила бы нас, если бы речь шла, скажем, об изготовлении частей авиационного двигателя; в этом случае уровень значимости должен быть много меньше, чем 0,001.

Подойдём, например, с этой точки зрения к неравенству (1). Можно сделать следующее заключение. Пусть дано число ε>0. Выберем n столь большим, чтобы величинабыла меньше того уровня значимости α, о котором шла речь выше. При таком выборе α событие

будет практически достоверным.

Иначе говоря, мы можем быть практически уверены, что при столь большом числе опытов частота наступления события Абудет с точностью доεсовпадать с его вероятностью.

§ 3. Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.

В § 2 мы говорили об устойчивости средних характеристик большого числа опытов, об устойчивости сумм вида

.

Однако величина S_n сама является случайной величиной, а значит имеет некоторый закон распределения.

Оказывается, что при весьма общих условиях закон распределения S_n близок к нормальному закону. Этим и определяется особая роль нормального распределения, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится иметь дело весьма часто как в самой теории вероятностей, так и в её многочисленных приложениях.

В общих чертах содержание центральной предельной теоремы (кратко ЦПТ) может быть высказано следующим образом:

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин, при весьма общих условиях, близко к нормальному распределению.

Перейдём к формулировке ЦПТ.

Пусть дана последовательность независимых величин Составим «частичные» суммы» этих величин

(n=1,2…) .

От каждой из случайных величин перейдем к, «нормированной» случайной величине

математическое ожидание которой равно 0, а дисперсия 1.

Действительно

.

Введём условие Ляпунова, налагаемое на последовательность .

Условие Ляпунова. Если существует такое число δ>0, что

,

где , то говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова.

Условие Ляпунова является одним из возможных математических выражений того факта, что отдельные отклонения должны быть при большихnмалы по сравнению с суммарным отклонением.

Проверим, в частности, что условие Ляпунова выполняется для одинаково распределенных слагаемых _.

В этом случае все Мсовпадают и равны некоторому числуm, всесовпадают и равны некоторомуd,, всесовпадают и равны некоторомуb. Тогда

.

И, значит, условие Ляпунова выполнено.

Теперь мы можем сформулировать ЦПТ в форме

А.М. Ляпунова.

Теорема.Если последовательность независимых случайных величинудовлетворяет условию Ляпунова, то для любых (конечных или бесконечных)aиbсправедливо предельное соотношение

. (1)

Иначе говоря, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами:m=0,=1.

Замечание о роли нормального закона.

Допустим, что производится измерение какой либо физической величины. На результат измерения влияет огромное количество случайных факторов, таких, как колебание атмосферных условий, сотрясение измерительного прибора, личные особенности наблюдателя и т.д. Каждый из этих факторов, взятых в отдельности, порождает ничтожную ошибку ξ_iв измерении данной величины. Все такие незначительные ошибки суммируются, так, что суммарная ошибка ν представляется в виде суммы большого числа случайных величинξ_к с малыми значениями; часто можно считать_ξк независимыми. И хотя закон распределения каждой из этих величин нам неизвестен, тем не менее (в виду ЦПТ) можно уверенно заключить, что вся сумма ν будет иметь закон распределения близкий к нормальному.

Исходя из сказанного выше, при математической обработке результатов измерения исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения.Из двух параметров этого закона один, а именно математическое ожидание, равен нулю. Второй параметр – среднее квадратичное отклонение – характеризует, в известном смысле, точность измерений.

Другой важный пример, характеризующий роль нормального распределения в приложениях теории вероятностей, дает массовое производство, существующее во многих отраслях современной промышленности. В процессе массового производства изготавливаются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны, естественно, соответствовать определенному стандарту однако в действительности наблюдаются отклонения от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует, учесть, что выпуск изделия связан, как правило, с большим числом операций, некоторые из них не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку ξ_i(это и есть, в каком то смысле, условие Ляпунова, что «достаточно вероятные» значения слагаемыхξ_к должны быть при большихnмалы по сравнению со всей суммой ν_n), но, складываясь, такие ошибки могут давать вполне ощутимые отклонения от стандарта. И здесь, так же как в случае ошибок измерения, имеются все основания считать, что суммарное отклонение от стандарта подчиняется нормальному распределению.

Подобных примеров можно привести много в разных областях науки и техники. Они объясняют, почему нормальный закон так часто возникает в задачах прикладного характера.

Приведём пример, иллюстрирующий ЦПТ .

Пример 1. Доска Гальтона.

Прибор Ф. Гальтона (1822-1911) состоит из слегка наклоненной прямоугольной доски в которую вбито в шахматном порядке большое число гвоздиков (рис.1) Сверху доски, в середине, помещается воронка , из которой выпускаются шарики: диаметр всех шариков одинаков и несколько меньше расстояния между гвоздиками. После столкновения с гвоздиками каждого ряда, шарик скатывается в одно из вертикальных отделений внизу доски, фиксирующих место выхода шарика из последнего ряда гвоздиков. Направим ось ОХ вдоль нижнего ребра доски, поместив начало в центре указанного ребра; за единицу масштаба примем расстояние между соседними гвоздиками.

При каждом столкновении шарик может пройти либо в левый, либо в правый просвет того же ряда гвоздиков.

Рассмотрим траекторию одного из шариков. Обозначим через ξ₁смещение вдоль оси ОХ, полученное шариком между первым и вторым столкновениями с гвоздиками (при проходе через первый ряд гвоздиков), черезξ₂– смещение полученное между вторым и третьим столкновениями,ξ_к – при проходе черезк-ый ряд гвоздиков. Черезξобозначим суммарное смещение, полученное после прохождения всех рядов гвоздиков, очевидно, имеем:ξ=ξ₁+ξ₂+…+ξ_n, гдеnчисло рядов.

Каждая из величин ξ₁, ξ₂, …, ξ_nпредставляет собой случайную величину, принимающую только два значения, +1 (проход шарика в правый просвет) и -1 (проход шарика в левый просвет), с вероятностями; её математическое ожидание равно 0, а дисперсия 1. Еслиnдостаточно велико, то на основании ЦПТ (применённой к сумме большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин), можно считать, чтоξимеет распределение, близкое к нормальному, с центром в точке 0 и средним квадратичным отклонением. Количество шариков в каждом отделении, согласно частотному смыслу вероятности, должно быть пропорционально вероятности попадания в отделения и тем самым соответствующей ординате плотности нормального распределения. Поэтому кривая «огибающая» лежащие в отделениях шарики отличается от нормальной кривойлишь постоянным множителем. Опыты показывают, что даже при не очень большихn расположение шариков отчётливо воспроизводит нормальную кривую.

Применим теперь теорему Ляпунова к схеме Бернулли.

Пусть производится nнезависимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностьюр(0<р<1) наступает

событие А. Рассмотрим случайную величинуν_nчисло наступления событияАвnопытах. Очевидно,

ν_n= ξ₁+ξ₂+…+ξ_n,

где ξ_i обозначает число наступлений событияАвi-м опыте (i=1,2,...,n). Случайные величиныξ_iимеют один и тот же закон распределения, так что условия теоремы Ляпунова выполнены. Но тогда должна быть справедлива формула (1), которая в данном случае принимает вид:

(2)

(напомним, что =np,=npqсм. §7,8 глII).

Это равенство носит название интегральной предельной теоремы Лапласа.

Покажем, что из него следует интегральная приближенная формула Лапласа (формула(3) §12 гл.II).

Событие

равнозначно

Положим

,

так, что

.

Тогда левая часть формулы (2) запишется:

. (3)

Правую же часть, учитывая соотношение: , (гдеФ(x)-функция Лапласа), можно представить как

.

Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела в (2), к выражению (3), получаем приближенное равенство

,

которое есть не что иное, как интегральная приближённая формула Лапласа.