Задачи:

1. Показать, что:

2. Электрическая цепь составлена по схеме приведённой на рисунках. События = (элемент с номеромкне вышел из строя (другими словами ток через этот элемент проходит). СобытиеA= (цепь работает). Выразить событиеАчерез события .

3. При условии задачи №2. Событие= (элемент с номеромквышел из строя), событиеВ= (разрыв цепи). Выразить событие Вчерез события .

События АиВназываютсянесовместными, если они не могут наступить вместе в одном опыте, т.е. если .

Говорят, что события образуютполную группу событий, если они попарно несовместны и (т.е. при осуществлении опыта хотя бы одно из этих событий наступит).

Другими словами, если события- образуют полную группу событий, то в результате каждого опыта обязательно наступает одно и только одно из событий .

§4. Формула сложения вероятностей

Как правило, вероятности различных событий стараются подсчитать косвенным путем, не прибегая к эксперименту (поскольку серию из большого числа опытов трудно осуществить практически). Теория вероятностей устанавливает такие связи между вероятностями случайных событий, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по вероятностям более простых событий.

Выведем одну из основных формул теории вероятностей – формулу сложения вероятностей.

Пусть опыт, с которым связаны события А иВ,повторенNраз и пусть при этомN(A)раз наступило событиеАиN(B) – событиеB. Тогда нетрудно видеть, что имеет место соотношение

N(A+B)=N(A)+N(B)-N(AB)

Разделив обе части равенства на Nи взяв предел при ( см §2), получим:

Таким образом, мы получили формулу

(1)

называемую формулой сложения вероятностей.

Найдём вероятность невозможного события Ø.

Имеем N(Ø)=0, значит

.

Итак, вероятность невозможного события равна0.

Теперь если события А иВнесовместны, то тогдаАВ=Ø и значитР(АВ)=0. Отсюда из формулы (1) получаем.

Если события АиВнесовместны, то тогда

. ()

Если I– достоверное событие, то тогдаN(I)=Nи значит

.

Итак, вероятность достоверного события равна1, т.е.

. (2)

Далее из того, что Аи несовместны иА+=I, то из формул () и (2) получаем:

и значит

, (3)

т.е. получили формулу для вероятности противоположного события.

Нетрудно видеть, что если события попарно несовместны, то справедливо равенство

()

Из определения вероятности также следует, что для любого события Аимеет место неравенство

. (4)

Действительно, так как , то значит

. Переходя к пределу при получим неравенство (4).

§5. Аксиоматический подход к теории вероятностей

Из определения вероятности (см §2) ясно видно, что вероятность описывает некоторую реальную закономерность, проявляющуюся при массовом повторении случайного испытания. Однако для построения математической теории важно не только установить естественно-научное значение основных понятий, но и формально перечислить их основные свойства. Так, в геометрии простейшие, лежащие в основе построения теории свойства точек и прямых, перечисляются в аксиомах, например: через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Точно так же, логическое построение теории вероятностей основано на фиксации первичных, не подлежащих определению понятий данной теории. Их основные свойства формулируются в виде ряда аксиом. После этого все предложения теории (иначе говоря, все теоремы) выводятся из аксиом строго логическим путем, без обращения к посторонним понятиям опыта, наглядности, устойчивости частот и т.д.

Современная аксиоматика теории вероятностей принадлежит советскому математику А.Н. Колмогорову.

Приведём сначала некоторые предварительные соображения.

Заметим, что среди событий по отношению к данному опыту можно выделить такие, которые являются простейшими, элементарными.

Элементарные событияхарактеризуются тем, что при каждом осуществлении опыта наступает одно и только одно из них и, что любое событиеА, связанное с данным опытом, должно распадаться на элементарные, т.е. представляться в виде суммы некоторого множества элементарных событий.

Пример1. В опыте с бросанием игральной кости события , где означает выпадениеi очков, являются элементарными. Действительно, любое событие, представляющее интерес в связи с бросанием игральной кости, формулируется как некоторое условие на число очков (например: число очков чётное, число очков превосходит 3 и т.д.). Отсюда ясно, что каждое событие, связанное с данным опытом, распадается на элементарные события .

Пример2. Пусть опыт заключается в «бросании» точки в области Ω на плоскости. Элементарное событие – это попадание точки в определенную точку области Ω. Ясно, что суммами таких событий исчерпываются все мыслимые исходы опыта. В данном примере, в отличие от предыдущего, множество элементарных событий бесконечно. Можно считать его совпадающим с множеством всех точек области Ω.

Возвращаясь к общей ситуации, обозначим через Ω множество всех элементарных событий для данного опыта. Каждому событию А, связанному с данным опытом, можно сопоставитьподмножествомножества Ω; это подмножество состоит из тех элементарных событий, на которые распадается А. В аксиоматике Колмогорова событиеАотождествляется с соответствующим подмножеством в Ω. В такой интерпретации, например: событие « на игральной кости выпало нечётное число очков» есть подмножество в множестве , а событие «точка попала в подобласть Д области Ω на Рис.1.» есть подмножество множества Ω, состоящее из всех точек Д указанной подобласти.

Рис.1

Такой подход к понятию события удобен тем, что благодаря ему, понятия суммы cобытий, произведенияcобытий и противоположного события приобретают естественно теоретико-множественный смысл, а именно: сумма событийАиВпревращается в объединение соответствующих подмножеств, произведение событийА иВ– в пересечение этих подмножеств, а противоположное событие - в дополнению к подмножествуАв Ω.

Таким образом, математическая формализация модели случайного опыта разбивается на две группы аксиом.