§9. Корреляционный момент и корреляция случайных величин

Пусть и- две случайные величины. Положим,

=+

По теореме сложения математических ожиданий будем иметь:

М=М+М

Вычитая это равенство из предыдущего, получим:

= +

где обозначает отклонение величиныотm, то есть

- m. Отсюда

²= ²+ ²+ 2

Найдем теперь дисперсию величины +:

D(+) =D=M²=M ²+M²+ 2M=

= D+D+ 2M() (1)

Число M() имеет особое значение для характеристики системы (,). Его называюткорреляционным моментом случайных величин и и обозначают черезК(,). Таким образом, по определению

К(,) =M().

Формула (1) принимает теперь следующий вид:

D(+) =D() +D() + 2K() (2)

- дисперсия суммы равна сумме дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент.

Корреляционный момент, как свидетельствует его название, (от латинского слова correlation– соответствие, взаимосвязь), играет определенную роль при оценке зависимостии. Основное свойство корреляционного момента выражается следующим предложением.

Если величины и независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Действительно, пусть инезависимы. Тогда,

очевидно, величины и будут тоже независимы. Отсюда вытекает, что математическое ожидание произведения будет:M() =MM== 0.

Из доказанного предложения следует: если К(,) ≠ 0, то величиныине могут быть независимыми. Таким образом, неравенство нулю корреляционного момента определенно свидетельствует о наличии связи между величинамии.

Предположим, что в некотором опыте наблюдаются две случайные величины и.

То обстоятельство, что иобусловлены одним и тем же опытом, вообще говоря, создает между этими величинами некоторого рода связь: как принято говорить,искоррелированы(согласованы) друг с другом.

Одной из характеристик корреляции, как мы уже знаем, служит корреляционный момент

K() =M() =M((-m) (-)),

где mи- математические ожидания величинисоответственно. Заметим, что справедлива формула

K(,) =M() -m;

чтобы получить эту формулу, надо записать

(-m)(-) =-m-+m

и приравнять друг к другу математические ожидания левой и правой частей.

Как мы знаем, если величина инезависимы, то их корреляционный момент равен нулю. Поэтому неравенство нулю величиныК(,) свидетельствует о наличии связи междуи.

Случайные величины и, для которых корреляционный момент равен нулю, называются некоррелированными. Таким образом, из независимости величиниследует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно: можно привести примерыи, для которых корреляционный момент равен нулю, между темисвязаны между собой (даже функционально).

Приведём пример такого рода. Пусть величина распределена непрерывно, причём плотность вероятности есть чётная функция; величина=². ТогдаМ= 0 и значит

K

∞

-∞

(,) =M() =M() =³dx= 0.

Корреляционный момент, как следует из его определения, зависит от выбора единиц измерения для и; например, если при измеренииив килограммах было получено значениеК= 5 кг², то, приняв за единицу измерения 1 г, получим для корреляционного момента значениеК= 5х10⁶ г². Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Чтобы преодолеть такое затруднение, вводится другая характеристика связи междуи- коэффициент корреляции.

Определение.Коэффициентом корреляции случайных величининазывается число

- отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений величин и.

Очевидно, коэффициент корреляции не зависит от выбора единиц измерения для величин и(иначе говоря,r(,) есть величина безразмерная). Он не зависит также и от выбора начала отсчета при измерениии.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Коэффициент корреляции всегда заключен между -1 и 1:

-1 r 1

В случае, когда r= 1, величиныисвязаны линейной зависимостью:

= a+b(a,b=const),

причем a>0; приr= -1 между величинамииимеет место линейная зависимостьca <0.

Доказательство. Рассмотрим математическое ожидание случайной величины

(+t)²,

где =-, =-m, аt– любое действительное число. Имеем:

M(+)² = M(² + 2t +t²²) = M² +2t M() + +t²M² = D+ 2tK(,) + t²D.

Мы получим равенство вида

M(+)²= t²+ 2t+ (3)

где =D, =K(,), =D.Квадратный трехчлен, стоящий в правой части этого равенства, при любом значенииtнеотрицателен (ибо он равен математическому ожиданию случайной величины, принимающей только неотрицательные значения). Отсюда вытекает, что дискриминант этого трехчлена, т. е. выражение

²-,

есть число не положительное. Итак,

К²(,) –DD0,

или

Мы пришли к неравенству r²1, означающему, что величинаrзаключена в промежутке от 1 до -1.

Предположим теперь, что r²– 1, т. е.rравно -1 или 1.

В этом случае дискриминант указанного выше квадратного трехчлена равен нулю. Отсюда вытекает, что трёхчлен имеет действительный корень, т. е. при некотором действительном значении t= -aвыражениеt2 + 2t+равно нулю. Но тогда в силу (3) мы должны иметь:

M(+)²= 0

а это в свою очередь означает:

- a = 0

или

= a+b.

Обратно, допустим, что между случайными величинами иимеет место такого рода соотношение. Изменив начало отсчёта величины(что не влияет наr), можно добиться, чтобы былоb= 0, т. е.=a. В этом случае, как легко проверить, величинаrбудет равна -1, еслиa< 0, и 1, еслиa> 0.

Установленные нами свойства коэффициента корреляции дают основание для некоторого качественного заключения, а именно: близость величины r²к единице есть признак того, что зависимость междуиблизка к линейной. Если при этомr> 0, то с возрастаниемвозрастает всреднеми, тогда говорят о положительной корреляциимежду величинамии; если жеr< 0, то при возрастаниивеличинав среднем убывает (отрицательная корреляция).