1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Подойдём естественным образом к понятию математического ожидания или среднего значения принимаемого случайной величиной.

Пусть ξ– дискретная случайная величина, связанная с некоторым опытом. Предположим, что опыт осуществленNраз и при этом величинаξ:N₁раз принимала значениеx₁,N₂раз принимала значениех₂и т.д. Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых величинойξв данной серии опытов. Оно запишется:

Рассмотрим событиетогда, в нашем случаеN(A_i)=N_iи дробьесть относительная частота наступления события(или, что то же самое, появления значения ) вNопытах. С увеличением числа опытовNэта дробь будет приближаться (см. §2 гл.I) к

p_i- вероятности событияA_i =(ξ=x_i).

В итоге получаем, что с увеличением числа опытов Nсреднее арифметическое будет приближаться к числу

x₁+x₂+… .

Исходя из полученной формулы дадим следующее определение:

Определение:Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины с законом распределения

		. (1) ..
		...

называется число (обозначаемое через Mξили)

Mξ=x₁+x₂+… . (2)

Другими словами, математическое ожидание ДСВ ξравно сумме произведений возможных значений величиныξна их вероятности.

Смысл Mξ ясен из приведённого выше рассуждения. Он заключается в том, чтооколо числа Mξ колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной ξ в длинных сериях опытов.

В случае когда ДСВ принимает бесконечное (счётное) число значений, в правой части (2) стоит сумма бесконечного ряда, к определению математического ожидания мы добавим следующее требование: ряд (2) должен сходится абсолютно. Другими словами, должен сходится ряд

|x₁|p₁+|x₂|p₂+… ,

составленный из абсолютных величин членов ряда (2). Смысл этого требования заключается в следующем. Если произвольным образом поменять местами столбцы таблицы (1), то изменённая таблица будет по прежнему задавать закон распределения величины ξ. В ряде (2) при этом произойдет перестановка слагаемых. Для того, чтобы числоMξоставалось неизменным, нужно, следовательно, потребовать, чтобы сумма ряда (2) не менялась при любой перестановке слагаемых. Как известно, таким свойством обладают только абсолютно сходящиеся ряды. Если ряд (2) не абсолютно сходится, то среднее значениеMξ, будем говорить, не существует.

Рассмотрим ряд примеров на нахождение математического ожидания.

Пример 1.Биномиальное распределение

В этом случае

(3)

Согласно (2)

Mξ=

Для вычисления суммы заметим, что при k>0

Отсюда получаем

Mξ

Заменим индекс суммирования кнаj=k-1; когдаkменяется от 1 доn, тоjменяется от 0 доn-1; применяя бином Ньютона, имеем:

Mξ=.

Итак, для биномиального распределения среднее значение равноnp.

Например, в серии из nвыстрелов, с вероятностью попадания в одном выстрелеp, среднее число попаданий равноnp.

Пример 2.Распределение Пуассона.

В этом случае закон распределения задается таблицей:

, k=0,1,2,.... (4)

Отсюда имеем:

Таким образом, параметр λ, характеризующий Пуассоновское распределение, есть среднее значение величины.

Если распределение Пуассона применяется как приближённое распределение вместо биномиального с большим n(см. §12 гл.I) , то λ=np.

Пример 3.Геометрическое распределение.

В этом случае

(5)

Рассмотрим это распределение на примере задачи.

Проводится ряд независимых опытов, в каждом опыте с вероятностью pнаступает событиеА. Опыты продолжаются до первого появления событияА. Случайная величина

–число произведённых опытов. Нетрудно видеть, что величина распределена по геометрическому закону (5).

Вычислим M.

Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрической прогрессии

q+q²+ q³+ …+qⁿ +…=.

Следовательно,

.

Итак, среднее значение геометрического распределения равно.

Решим важную задачу.

Задача.ДСВξзадана законом распределения (1). Найти математическое ожидание случайной величиныη=φ(ξ), гдеφнекоторая функция.

Решение. Закон распределения ДСВη=φ(ξ)мы рассмотрели в §4 гл.II.

Возможными значениями величины ηбудут числа

φ(x₁),φ(x₂),… .

Пусть c₁, c ₂,… различные значенияφ(x_i), i=1,2,…, тогда

и значит

Итак, для нахождения М(φ(ξ)) мы получили формулу

М(φ(ξ))=(6)

Перейдём теперь к непрерывным распределениям.