I. Аксиомы событий

1. Задаётся множество элементарных событий Ω, называемое пространством элементарных событий.

2. Рассматривается некоторая непустая совокупность Sподмножеств множества Ω, называемых событиями (в общем случае бесконечного пространства Ω, мы рассматриваем не все подмножества Ω, а лишь некоторые классы этих подмножеств).

К совокупности Sпредъявим следующие требования

1. Если множества (в конечном или счётном числе) суть события, то их объединение тоже является событием.

2. Если множество Аявляется событием, то его дополнение ( до Ω ) есть тоже событие.

Из аксиом 1,2 легко следует, что само Ω является (достоверным) событием и если есть события, то их пересечение (произведение) снова будет событием.

В этой терминологии два события Аи В, не имеющие

( как подмножество) общих элементов, будут несовместными.

Событие, совпадающее с пустым множеством Ø, будет невозможным событием.

Таким образом, в нашей терминологии: результатом опыта является одно и только одно элементарное событие . Далее, событиеА считается наступившим, если результатом опыта явилось элементарное событиеω, принадлежащееА.

II. Аксиомы вероятностей

Теперь мы сформулируем аксиомы, задающие само понятие вероятности.

1. Каждому событию поставлено в соответствии неотрицательное числоР(А), называемое вероятностью событияА.

2. Если события попарно несовместны, то

.

Заметим, что при бесконечном числе событий в правой части написанного равенства стоит сумма ряда.

3. .

Аксиомы 1-3 составляют основу всей теории вероятностей. Все теоремы этой теории выводятся из них формально логическим путем.

Схема, включающая в себя три объекта :

1. Множество Ω (называемое пространством элементарных событий),

2. Систему S подмножеств Ω (называемых событиями), удовлетворяющих аксиомам 1,2 пункта I,

3. Функцию Р(А),определенную наS и удовлетворяющую аксиомам 1,2,3 пункта II,

называется вероятностнойсхемой данного опыта(иливероятностным пространством данного опыта).

Упоминание об опыте может быть опущено, поскольку понятие вероятностной схемы является чисто математическим понятием и не требует привязывания к какому либо конкретному опыту.

С введением вероятностной схемы мы можем определить предмет теории вероятностей в более точных терминах, а именно:

теория вероятностей занимается изучением

всевозможных вероятностных схем.

Замечание 1.Поскольку аксиоматика теории вероятностей явилась следствием формализации объективных свойств массовых случайных явлений реального мира и все аксиомы теории вероятностей мы вывели исходя из частотного определения вероятностей, то мы в дальнейшем при выводе формул иногда будем обращаться к частотному понятию вероятности по отношению к данному опыту.

Как мы говорили выше, данные формулы могут быть выведенным из выше указанных аксиом.

Замечание 2.Множество Ω для данного опыта может бытьдискретным,непрерывным, или иметь более сложную структуру.

К дискретнымотносятся конечные или счётные множества элементарных исходов, кнепрерывным– множества типа конечного или бесконечного интервала на числовой прямой. Чаще всего рассматривают модели опытов, для которых множество элементарных исходов Ω либо дискретно, либо непрерывно.