§8. Условная вероятность. Независимость случайных событий.

Для полного обоснования теории вероятностей нам недостает еще одного основного понятия – понятия независимости событий.

При совместном рассмотрении двух случайных событий АиВчасто возникает вопрос: насколько связаны эти события друг с другом, в какой мере наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Простейшим примером связи между двумя событиями может служить причинная связь - когда наступление одного из событий ведет к обязательному осуществлению другого или же, наоборот. Однако наряду с такими крайними случаями существует и много промежуточных, когда непосредственная причинная зависимость одного события от другого отсутствует, но некоторая зависимость всё же имеется.

Для пояснения сказанного приведём пример.

Бросается игральная кость. Событие А– выпадение чётного числа очков, событиеВ– выпадение числа очков большего, чем 3. очевидно, было бы неверно утверждать, что одно из этих событий влечет за собой другое. В то же время между событиямиАиВимеется какая-то зависимость. В самом деле, из трёх случаев, к которым сводитсяВ(выпадение 4, 5 или 6 очков), событиюАбудут благоприятны два; поэтому, если считать наступившим событиеВ, то шансы событияАбудут. В то же время, при отсутствии предварительной информации об исходе бросания, шансы событияАоцениваются отношением. Так как, то следует признать, что наступление событияВповышает шансы событияА. Если мы введём в рассмотрение событиеС– выпадение нечётного числа очков, то если мы будем считать наступившим событиеС, то шансы наступления событияАсведутся к нулю.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводят понятие условной вероятности.

Определение 1.ПустьАиВ– два случайных события по отношению к некоторому опыту. Условной вероятностью событияАпри условии, что наступило событиеВ(обозначениеили) называется вероятность наступления событияАпри условии, что наступило

событие В.

Замечание.В §2 мы видели, что для вычисления вероятности событияАважно, чтобы опыт производился при некотором комплексе условий, не меняющимся при повторении опыта; только в этом случае относительная частотапоявления событияАбудет «устойчива» - близка к некоторому числуР(А) при большихN. Если комплекс условий изменить добавочным условием: некоторое событиеBзаведомо осуществилось, то новый комплекс условий определяет, по существу, уже другой опыт, и вероятность события в этом другом опыте, как правило, будет другой. Исходя из этого, можно дать общее определение условной вероятности

Определение 2. Пусть к комплексу условий, определяющим опыт, добавлено условие, что в опыте непременно осуществляется некоторое событиеВ; этим определяется некоторый новый опыт. Вероятность событияАв таком новом опыте называется условной вероятностью событияАпри условии, что наступило событиеВ.

Выведем формулу для условной вероятности, исходя из только что сказанного.

Пусть опыт произведен Nраз, но во внимание приняты лишь те случаи, когда наступило событиеВ. Тогда отношениепоказывает, какую долю от числа опытов, в которых наступило событиеВ, составляет число таких опытов, в которых, помимоВ, наступило также и событиеА. Таким образом, относительная частотасобытияАвN опытах при условии, что наступило событие В равна

.

Исходя из определения вероятности (см. §2) мы получаем, что условная вероятность события Апри условии, что событиеВнаступило, равна

Итак, мы получили формулу для условной вероятности

. (1)

Замечание.При выводе формулы (1) естественно требовать условие, чтобы.

Из равенства (1) следует формула

, (2)

называемая формулой умножения вероятностей.

Замечание. ВероятностьР(А) ещё называютбезусловной вероятностьюсобытияА.

Аналогично выводится формула

(3)

(в случае, когда ) и тогда формула (2) будет выглядеть следующим образом

. (4)

Пример 1.В урне находитсяm-белых и n-mне белых шаров. Последовательно, без возвращения выбираются два шара. Найдем вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение.Эту вероятность можно найти с помощью формулы умножения (2).

Обозначим событие первый вынутый шар - белый,второй вынутый шар - белый. Тогда вычисление вероятностейисводится к более простым задачам о вынимании шара из урны, содержащейmбелых иn-mне белых (см §6). Окончательно вероятность того, что оба шара будут белыми (события АВ) будет равна

.

С помощью (2), по индукции, легко доказывается более общая теорема.

Теорема (формула умножения).Пусть событияА₁,…,А_nтаковы, что . Тогда

Пример 2. Слово «лотос», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто».

Решение. Введём обозначения для этих событий:

А ₁– первой извлечена буква «С»;

А ₂– второй извлечена буква «Т»;

А ₃– третьей извлечена буква «О»;

А– получить слово «сто».

Очевидно, . Тогда имеем последовательно:

;

И значит:

Теперь, опираясь на понятие условной вероятности, можно дать определение независимости событий, имеющего решающее значение для всех применений теории вероятности.

Мы уже видели на примерах, что вероятности Р(A) и, вообще говоря, различны; другими словами, наступление событияВможет изменить вероятность наступления события A. В связи с этим вводится следующее определение

Определение 3.Если, то мы говорим, что событиеАне зависит от событияВ, если выполняется равенство

. (5)

Таким образом, Aне зависит отВ, если наступлениеВне оказывает влияние на вероятностьA(или, другими словами, наступление события Вне меняет шансов наступления событияA).

Если , то в этом случае (когда наступление событияАне зависит от наступления события В) получаем (см (3))

.

Значит из независимости АотВследует независимостьВотА, т.е. понятие независимостиАиВсимметрично.

Из формулы умножения вероятностей (2) следует, что для независимых событий AиВимеет место равенство:

.

Это приводит нас к следующему определению независимости:

Определение 4.СобытияAиВназываются независимыми, если

. (6)

Если равенство (6) не выполняется, то события AиВбудем называтьзависимыми.

Это определение уже не содержит ограничений типа и. В частности, если, то из того, что событиеАВесть следствие событияАследует, что и, а тогда в силу (6) событияAиВнезависимы. Из определения (6) следует, чтои, если эти условные вероятности существуют (т.е.исоответственно). Таким образом, из определения 4 следует определение 3.

В дальнейшем мы будем пользоваться и тем, и другим определениями независимости событий (чаще всего определением 4).

Замечание.Обычно независимость событийAиВне устанавливается с помощью равенства (6), а постулируется на основе каких-либо внешних (интуитивных) соображений.

Обычный ход рассуждений таков: из конкретных условий рассматриваемого опыта делается заключение о (причинной) независимости тех или иных событий и затем с помощью равенства (6) мы вычисляем вероятность Р(АВ), зная вероятностиР(A) иР(В) двух независимых событий.

Следующий пример показывает, что независимость может исчезнуть, если незначительно изменить вероятностную модель (схему).

Пример 3.Из колоды в 52 карты (состоящей из 13 карт каждой из четырёх мастей) наугад вынимается карта. Рассмотрим событияA={вынут туз} иВ={вынута карта червовой масти}. Тогда событиеАВ={вынут туз червовой масти}. Тогда в этом случае получаем

И значит события АиВнезависимы, хотя это и интуитивно ясно, чтоАне зависит отВ(цена карты не зависит от масти).

Если же колода карт содержит еще и джокер, то AиВстанут зависимыми, так каки

Нетрудно видеть (проверьте самостоятельно), что если события AиВнезависимы, то независимы будут также событияиВ,и.

Понятие независимости двух событий распространяется на случай нескольких событий.

Определение 5. СобытияA ₁,A ₂…, A _n называются независимыми, если вероятность любого из нихА_i не меняется при наступлении какого угодно числа событийA _j ,из той же совокупности.

Нетрудно видеть (используя определение 4), что это определение может быть сформулировано по-другому.

Определение 6.СобытияA ₁,A ₂…,А_n, называются независимыми, если для любого подмножествамножествавыполняются равенства

. (7)

Можно также, показать, что из независимости событий A ₁,A ₂…,А_n вытекает, что любое из этих событий независимо от любой комбинации остальных.

Еще раз подчеркнём, что в большинстве случаев, основанием для вывода о независимости служат интуитивные соображения. Так, например, если бросают подряд две монеты, то ясно, что выпадение той или иной стороны на одной монете не оказывает никакого влияния на условия бросания другой, и, значит, следующие два события: выпадение герба на одной монете (событие A) и выпадение герба (или решки) на другой (событиеВ) – являются независимыми.

Пример 4. Электрическая схема состоит изn последовательно соединённых блоков (рис 1). Надёжность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого блока равна соответственнор₁, р₂, …, р_n. Считая выходы из строя различных блоков независимыми событиями, найти надёжность всей схемы в целом.

Решение (см. §4). Событие, заключающееся в исправной работеi-го блока, обозначим A_i; исправность схемы в целом обозначим через событие А.

Так как блоки соединены последовательно , то событие А имеет место в том и только в том случае, когда имеют место все A_i.

Поэтому , откуда в силу независимости событий,…,А_n следует

Та же самая задача для схемы из параллельно соединенных блоков (рис 2) приводит к другому ответу. В этом случае и значит

Замечание.На практике формулу умножения полезно применять вместе с формулой сложения. При этом событиеА,вероятность которого требуется найти, стараются представить в виде суммы нескольких попарно несовместных слагаемых:, а каждое из слагаемыхА_к ,в свою очередь, представить в виде произведения нескольких независимых событий.

Пример 5. Имеются две урны. В первой находится 1 белый шар, 3 чёрных и 4 красных, во второй – 3 белых, 2 чёрных и 3 красных. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару, после чего сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вытащенных шаров совпадают (событиеА).

Решение. Обозначим событие, состоящее в извлечении из первой урны белого шара, черезВ₁, чёрного –С₁, красного –D₁. Аналогичные события для второй урны обозначимВ₂,С₂, D₂.СобытиеАраспадается на три (несовместных) варианта:В₁В₂, С₁С₂, D₁D₂.

Тогда, применяя формулу сложения (для несовместных событий) и формулу умножения (для независимых событий)), получим