естественнонаучной и гуманитарной культурами, наукой и искусством, противоречия, возникающие в межнациональной, межрелигиозной, социальной и других сферах жизни.
7.3. Вероятностно-статистический характер поведения микрочастиц
В середине 20 годов ХХ века благодаря научным исследованиям, проведённым Планком, Эйнштейном, Бором, де Бройлем, Гейзенбергом и другими учёными, стало ясно, что микрочастицам так же как и свету свойственен корпускулярно-волновой дуализм. Это накладывает ограничения на применение классической механики для описания поведения микрочастиц, определяемые принципами неопределённости и дополнительности. В соответствие с идеей де Бройля микрочастица характеризуется волной, которую в одномерном случае записывают в следующем виде:
Ψ(x,t) = Aexp[−i(ωt − kx)], |
|
|
где |
Ψ(x,t) – волна де Бройля; A |
– амплитуда; |
k = 2π / λ |
– волновое число; λ – длина |
волны; ω – |
циклическая частота; i = 
−1 – мнимая единица; t – время; x – координата.
Используя |
соотношения |
λ = h / p = 2πh / p |
и |
ω = 2πν = 2πE / h = E / h , выражение |
для волны де Бройля |
||
можно записать в виде, наиболее часто используемом для описания поведения микрочастиц:
Ψ(x,t) = Aexp[−(i / h)(Et − px)] . |
(7.8) |
Рассмотрим вопрос, связанный с пониманием физической природы волн де Бройля. С этой целью проведём параллельно анализ дифракции света с позиции его корпускулярных свойств (свет – поток фотонов) и дифракции микрочастиц, например, электронов (рис. 7.2). При прохождении фотонов и электронов через щели шириной y у этих частиц в соответствии с соотношением
неопределённостей Гейзенберга появится разброс поперечных составляющих Dpy ³ h /(2Dy) . Это означает, что
нельзя точно предсказать место на экране, в которое попадут отдельные фотон и электрон. Можно указать лишь относительную вероятность попадания этих частиц в ту или иную область экрана.
Когда через соответствующие щели проходит большое число фотонов и электронов, то датчики, расположенные по всей площади экрана, зафиксируют число частиц попадающих в определённую область экрана. Разделив это число частиц на полное число частиц и на площадь данной области экрана, получим плотность вероятности, т. е. вероятность попадания частицы на единичную площадь поверхности экрана. На рис. 7.2 б и рис. 7.2 г представлены распределения плотности вероятности для центральных дифракционных максимумов.
Отдельный
фотон
y
Отдельный
электрон
w(y)
Пучок
r
фотонов
P
r
P
Э |
Пучок |
Э |
w(y) |
|
|||
|
электронов |
|
|
r
r
P
P
Э Э
Рис. 7.2. Дифракция фотонов и электронов на щели: а – отдельного фотона; б – пучка фотонов; в – отдельного электрона; г – пучка электронов. На рис. а и в крестиком отмечены места на экране, куда может попасть соответственно фотон и электрон.
Распределение интенсивности света на экране пропорционально распределению плотности вероятности. Действительно, поскольку интенсивность света определяется средней энергией падающей на единичную площадь поверхности экрана за единицу времени, то её можно записать в виде I = hνNw(y) , где I – интенсивность
света, hν – энергия фотона, N – число фотонов, проходящих через щель за одну секунду, w(y) – плотность
вероятности, y – координата в вертикальном направлении на экране. В то же время распределение интенсивности света на экране можно объяснить и с волновой точки зрения. В соответствии с теорией Максвелла колебание вектора напряжённости электрического поля в рассматриваемой
области экрана (координаты x, y и z имеют фиксированные
значения) |
может |
быть |
записано |
в |
виде |
E(x, y, z;t) = E(t) = Em cos(ωt + α) , где |
α – начальная |
фаза. |
|||
Известно, что интенсивность света пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля, усреднённому по времени, а, следовательно, пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости
электрического поля, т. е. I ~< E2 (t) >~ Em2 . Систематизируя
сказанное, можно заключить, что между плотностью вероятности попадания фотона в определённую область экрана, характеризующую корпускулярные свойства света, и квадратом амплитуды напряжённости электрического поля, характеризующим волновые свойства света, существует прямо пропорциональная связь, а именно,
w(y) ~ < E2 (t) >~ Em |
2 . |
(7.9) |
Распределение плотности вероятности попадания электрона в определённую область экрана напоминает распределение плотности вероятности для фотонов и, следовательно, распределение интенсивности света. В 1926 году немецкий физик М.Борн (1882–1970) показал, что плотность вероятности (вероятность найти микрочастицу в единичном объёме пространства) определяется квадратом модуля волны де Бройля (волновой функции), т. е.
w(x, y, z) = |
|
Ψ(x, y, z;t) |
|
2 = |
|
A |
|
2 . |
(7.10) |
|
|
|
|
Формулы для плотности вероятности нахождения фотонов (7.9) и микрочастиц (7.10) внешне очень похожи. Однако по сути входящих в неё величин различаются
принципиально. Так, E(x, y, z;t) является реальной волной,
описывающей распространение в пространстве и во времени электрической составляющей электромагнитного поля, в то время как волновая функция Ψ(x, y, z;t) , хотя и
описывает состояние микрообъекта на вероятностностатистическом языке, наглядного физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, определяющий вероятность нахождения микрочастицы в том или ином месте пространства.
Развивая идеи де Бройля о волновых свойствах материи, австрийский физик-теоретик Э.Шрёдингер (1887– 1961) в 1926 году открыл основное уравнение квантовой механики, описывающее поведение микрочастиц. Оно имеет следующий вид:
- |
h2 |
Ñ2Y +U Y = ih |
¶ Y |
, |
|
2m |
¶t |
||||
|
|
|
где m – масса частицы; U =U (x, y, z) – потенциальная энергия; Ψ = Ψ(x, y, z,t) – волновая функция, являющаяся
решением уравнения Шрёдингера, |
которую иногда |
||||||
называют «пси»-функция; Ñ2 = |
¶2 |
+ |
¶2 |
+ |
¶2 |
– оператор |
|
¶x2 |
¶y2 |
¶z2 |
|||||
|
|
|
|
||||
Лапласа, действие которого сводится к получению вторых частных производных функции по координатам.
Уравнение Шрёдингера не может быть выведено из других соотношений, оно постулируется. Его справедливость подтверждается согласием всех
вытекающих из него следствий с экспериментальными фактами, что придаёт ему смысл закона природы.
Внастоящее время разработан математический аппарат, позволяющий решать уравнение Шрёдингера для различных микрочастиц, например, для электронов в атомах, молекулах и в различных веществах. Решение уравнения Шрёдингера означает нахождение волновых функций электронов и их энергетического спектра (дозволенных значений энергии). Знание волновых функций позволяет рассчитать вероятность нахождения электрона в интересующей области пространства, учитывая, что квадрат модуля волновой функции есть вероятность нахождения электрона в единичном объёме пространства.
Вкачестве примера рассмотрим поведение электрона
впростейшем атоме – атоме водорода. На рис. 7.3 изображена радиальная плотность вероятности основного состояния электрона (вероятность найти электрон в шаровом слое единичной толщины), полученная из решения уравнения Шрёдингера. Видно, что электрон не находится на строго фиксированной орбите, как это следует из теории Бора. Однако следует отметить, что максимум плотности вероятности приходится на расстояние от ядра, соответствующее радиусу боровской орбиты.