Г Л А В А 4
СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Симметрия (от греч. simmetria – соразмерность) – это свойство тел, явлений и процессов, отражающее состояние их внутреннего равновесия и устойчивости и проявляющееся внешне в их инвариантности (неизменности) относительно некоторых преобразований. Немецкий математик Г.Вейль (1885–1955) писал: «Симметричное означает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их
вцелое. Красота тесно связана с симметрией». Мы восхищаемся проявлениями симметрии в природе, например в кристаллах, снежинках, живых организмах или
втворениях рук человеческих, скажем в архитектуре зданий, орнаментах персидских ковров и т. п. На рис. 4.1 представлены зарисовки различных форм диатомовых водорослей, выполненные немецким биологом Э.Геккелем (1834–1919) и представленных среди других в его альбоме «Красота форм в природе». Видно, что диатомовые водоросли обладают поразительно чёткой симметрией. Согласно Вейлю, объект является симметричным, если над ним можно произвести некоторые операции, в результате
которых объект будет выглядеть точно так же, как и прежде. Например, если снежинки повернуть на 60о, то они будут выглядеть точно так же, как и до поворота.
Симметрией обладают не только объекты, но и законы природы. Если законы, устанавливающие соотношения между вели-
Рис. 4.1 Диатомовые водоросли.
чинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не
меняются при определенных операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований. Симметрия пространственно-временных преобразований выявляет законы сохранения.
4.1. Связь законов сохранения с пространственновременными преобразованиями
Согласно теореме Э.Нётер, установленной ею в 1918 году, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой симметрией. Рассмотрим непрерывные преобразования пространства и времени и связанные с этими преобразованиями законы сохранения.
1. Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве.
Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование – реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование – параллельный перенос системы отсчёта. Симметрия физических законов относительно
сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в нём выделенных точек (однородность пространства). Другими словами, физические свойства системы тел и законы движения не изменяются, не зависят от выбора начала координат инерциальной системы отсчёта. Из свойства переносной
симметрии пространства – его однородности следует закон сохранения импульса: импульс замкнутой (изолированной) системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
2. Поворот системы как целого в пространстве.
Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства). Из поворотной симметрии (отсутствия в пространстве выделенных направлений) следует закон сохранения момента импульса.
3. Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени).
Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются во времени. Другими словами, время однородно, а это является условием инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчёта времени. Из однородности времени следует закон сохранения механической энергии.
4. Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной с постоянной по величине и направлению скоростью.
Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта, т. е. все физические законы инвариантны во всех инерциальных системах отсчёта.