пространства обладают одинаковыми свойствами. Перенос начала координат изменяет лишь координаты тел, но не изменяет массы тел и их скорости, произведение которых и определяет импульсы тел.
4.3. Закон сохранения энергии
Энергия (от греч. energeia – действие, деятельность) – общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Различают кинетическую энергию (энергию движения) и потенциальную энергию (энергию положения или энергию взаимодействия) частиц. Рассмотрим сначала каждый из видов энергии отдельно.
4.3.1. Работа и кинетическая энергия
Работой силы F на бесконечно малом (элементарном) перемещении ds называется проекция FS этой силы на
направление перемещения, умноженная на величину самого перемещения:
dA = FS ds = Fds cosα , |
(4.7) |
где α – угол между векторами F и ds (рис. 4.2). Поскольку перемещение ds предполагается бесконечно малым, величина dA называется также элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении. Если воспользоваться понятием скалярного произведения, то можно сказать, что элементарная работа dA есть
скалярное произведение силы F на перемещение ds :
r |
(4.8) |
dA = Fds . |
ds
α
F
Рис. 4.2. Схематическое изображение вектора силы, действующей на тело, и вектора перемещения на
В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно
малые элементы, на каждом из которых сила F может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (4.7) или (4.8). Если сложить все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а число их – к бесконечности, то такой предел обозначается символом
A = lim |
r r |
r |
r |
(4.9) |
å Fidsi = ò Fds |
||||
ds→0 |
i |
L |
|
|
и называется криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L . Этот интеграл, по определению, и даёт
работу силы F вдоль кривой L .
Подставив в формулу (4.9) ds = vdt , придадим этой формуле вид
v2 r r |
v2 |
mv2 |
|
mv2 |
|
A12 = m òvdv |
= m òvdv = |
2 |
− |
1 |
|
2 |
2 |
||||
v1 |
v1 |
|
r |
r |
и |
F = dp / dt = mdv / dt |
||
,
где |
r r |
= v |
r |
cos γ = vdv ; |
dv = |
r |
cos γ – проекция |
|||
vdv |
dv |
dv |
||||||||
приращения скорости dv |
на направление скорости v ; |
γ |
– |
|||||||
угол между векторами |
v и |
dv ; v1 – начальная, а |
v2 |
– |
||||||
конечная скорости точки. Буква A снабжена индексами 1 и 2, чтобы подчеркнуть, что речь идёт о работе по перемещению материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 (рис. 4.3). Величина
K = |
mv2 |
= |
p2 |
|
(4.10) |
|
2m |
||||
2 |
|
|
|||
называется кинетической |
энергией материальной |
||||
точки. Учитывая это, работу можно записать в виде |
|||||
A12 = K2 − K1 = K . |
(4.11) |
||||
Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии K этой точки.
dvγ
v |
|
dv |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v′ |
2 |
v′ |
|
|
||
|
|
|
Рис. 4.3. Векторная диаграмма, иллюстрирующая изменение скорости движения тела.
Полученный результат можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. Если написать соотношение (4.11) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложить, то в результате снова получится формула (4.11), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под A12 надо понимать сумму работ всех сил, как
внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки системы. Таким образом, работа всех сил,
действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.
4.3.2. Потенциальная энергия
Все силы, встречающиеся в макроскопической механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные. Консервативными называют такие силы, работа которых на пути между двумя точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих
точек. Поле сил (область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке) в этом случае называют потенциальным. К потенциальным полям относятся, например, поля центральных сил. Центральными силами называются силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы. Центральными силами являются гравитационные, кулоновские и упругие силы.
В качестве примера работы консервативной силы рассмотрим работу силы тяжести при переходе материальной точки из положения 1 в положение 2 вдоль произвольной траектории (рис. 4.4):
2 |
r r |
2 |
h2 |
|
|
A12 = ò mgds |
= mò gdscosα = −mg ò dh = |
|
|
||
1 |
|
1 |
h1 |
|
|
= (mgh1 − mgh2 ) = U1 −U2 = − U , |
|
(4.12) |
|||
где |
dh = −ds cosα ; |
U1 = mgh1 |
и |
U2 = mgh2 – |
|
потенциальные энергии частицы на высотах |
h1 и h2 над |
поверхностью Земли соответственно; |
U = U2 −U1 – |
изменение (приращение) потенциальной энергии частицы. Знак «–» перед U означает, что работа A12 силы тяжести
mg совершена за счет убыли потенциальной энергии
частицы. Из формулы (4.12) следует, что работа силы тяжести, являющейся консервативной силой, не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением частицы. Эта работа определяется убылью
потенциальной энергии частицы в поле силы тяжести Земли.
h
h1
dh |
ds |
|
mg
h2
Рис. 4.4. Движение тела в потенциальном поле Земли.
В общем случае, если на систему частиц действуют только консервативные силы, можно для неё ввести понятие потенциальной энергии. Какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат её материальных точек, условно примем за нулевое. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, равна потенциальной энергии системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом