Все указанные симметрии физических законов отражают псевдоевклидову геометрию четырёхмерного пространства-времени Минковского.

4.2. Закон сохранения импульса

Импульс частицы (прежнее название этой величины – количество движения), по определению, есть p = mv , где

m – масса частицы, v – её скорость в рассматриваемой системе отсчёта. Выясним, какая физическая величина ответственна за изменение импульса частицы. Пусть за бесконечно малый промежуток времени dt скорость частицы изменилась на величину dv , следовательно, изменение импульса составило dp = mdv . Тогда изменение

выражения равна результирующей силе F , действующей на частицу, поэтому

Это уравнение представляет собой другую форму записи второго закона Ньютона; оно означает, что производная по времени от импульса частицы равна

действующей силе. В частности, если F ≡ 0 , то p = const .

Уравнение (4.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если

известна зависимость силы F от времени. Действительно, из (4.1) следует, что элементарное приращение импульса

Проинтегрировав это выражение по времени, найдём приращение импульса частицы за конечный промежуток времени t :

Величину, стоящую в правой части этого равенства,

называют импульсом силы. Таким образом, приращение

импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу силы за то же время. Если сила F = const , то

Пока речь идет об одной частице, понятие импульса ничего нового не вносит. Иначе обстоит дело при переходе к системе частиц. Введём понятие импульса системы как векторную сумму импульсов её отдельных частиц:

где pi – импульс i -й частицы. Заметим, что импульс

системы – величина аддитивная, т. е. импульс системы равен сумме импульсов её отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Найдём физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференцируем (4.3) по времени:

dp / dt = å dpi / dt .

i

Согласно (4.1),

r

dpi / dt = å Fik + Fi ,

k

где Fik – силы, действующие на i -ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы); Fi –

сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). После подстановки последнего выражения в предыдущее получим

Двойная сумма справа – это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по величине и противоположны по направлению. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю. В результате

где F = å Fi – результирующая всех внешних сил.

i

Формула (4.4) выражает закон изменения импульса системы: производная по времени от импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на

частицы системы. Как и в случае одной частицы, из формулы (4.4) следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени t есть

т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за тот же промежуток времени.

Итак, импульс системы могут изменить только внешние силы. В частности, если результирующая всех

внешних сил F ≡ 0 , то импульс системы

Это уравнение выражает закон сохранения импульса системы: импульс системы остаётся постоянным, если результирующая всех внешних сил равна нулю.

Отсюда, в частности, следует, что импульс замкнутой системы есть величина постоянная. При этом импульсы отдельных частиц (частей) системы могут меняться во времени (что и подчёркнуто в последнем уравнении), однако эти изменения происходят так, что приращение импульса одной части системы в точности равно его убыли в другой части системы.

Закон сохранения импульса (4.6) инвариантен относительно переноса начала координат. Это связано с однородностью свойств пространства, все точки