Задачи (вычисление производной)

4.1. Найдите производную функции, пользуясь определением.

65

66

4.3. Найдите угловой кооэффициент касательной к кривой y = 5 ¡ 3x2 в точке с абсциссой x = ¡2.

4.4.Напишите уравнение касательной к кривой y = sin x в точке A(¼; 0).

4.5.Напишите уравнение нормали к параболе y2 = 2x в точке

A(8; 4).

4.6.Напишите уравнение нормали к окружности x2 + y2 = 25 в точке A(3; ¡4).

(в секундах). Найдите скорость лифта в момент времени t = 2.

4.8.Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через время t с. равно s = 14t2 ¡4t3 + 16t2.

Вкакие моменты времени точка была в начальном пункте?

Вкакие моменты времени ее скорость равна 0?

4.9.Разложение некоторого химического вещества протекает в соответствии с уравнением m = m0e¡kt , где m количество вещества в момент времени t, k положительная постоянная. Найдите скорость v разложения вещества и выразите ее как функцию m.

4.10.Зависимость количества Q вещества, получаемого в хи-

мической реакции, от времени t определяется формулой Q = a(1 + be¡kt). Определите скорость v реакции и выразите ее как функцию Q.

4.11.Размер популяции бактерий в момент t (время выражено в часах) задается формулой p(t) = 106 + 104 ¡103t2. Найдите скорость роста популяции, когда t = 1 ч.

67

4.6. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда ее приращение можно представить в виде

¢y = f(x + ¢x) ¡ f(x) = f0(x)¢x + ®(¢x);

где ®(¢x) бесконечно малая при ¢x ! 0 более высокого порядка, чем ¢x. Так как f дифференцируема в точке x, то f0(x) число. Главная часть f0(x)¢x приращения функции y = f(x), линейно зависящая от ¢x, называется дифференциалом функции f в точке x и обозначается df(x), или dy. По определению дифференциала можно показать, что dx = ¢x. Окон-

чательно имеем:

dy = f0(x)dx:

Дифференциал обладает свойством инвариантности формы, т.е. для диффференцируемой сложной функции y = f(u), где u = u(x), форма дифференциала сохраняется в виде dy = f0(u)du, но здесь du означает не произвольное приращение ¢u, а дифференциал функции u = u(x) как функции от x.

Пример 4.10. Найдите dy, если y = x ln x ¡ x.

Решение

dy = f0(x)dx = (x ln x ¡ x)0dx = (ln x + x ¢ x1 ¡ 1)dx = ln xdx:

Пример 4.11. Найдите dy, если y = sin(x2 + 3x).

Решение

1 способ

dy = f0(x)dx = (sin(x2 + 3x))0dx = cos(x2 + 3x)(x2 + 3x)0dx =

= cos(x2 + 3x)(2x + 3)dx:

2 способ. Обозначим u = x2 + 3x, тогда y = sin u.

dy = f0(u)du = (sin u)0du = cos udu =

= cos(x2 + 3x)d(x2 + 3x) = cos(x2 + 3x)(2x + 3)dx:

68

4.7. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в промежутке < a; b >. Тогда ее производная y0 = f0(x) есть некоторая функция, определенная на промежутке < a; b >.

Если функция y0 дифференцируема в некоторой точке x 2< a; b >, то ее производная (y0)0 = (f0(x))0 называется второй производной, или производной второго порядка, функции y = f(x) в точке x и обозначается y00, или f00(x).

Если функция y = f(x) имеет производную (n¡1) -го порядка

вточке x 2< a; b > , то производной n -го порядка называется

производная от производной (n ¡ 1) -го порядка, ее обозначают y(n) или f(n)(x). Функция, имеющая конечную производную n -го порядка в точке x называется n раз дифференцируемой

вточке x, при этом y(n) = (y(n¡1))0 = (f(n¡1)(x))0. В частности,

y000 = (y00)0; y(4) = (y(3))0 и т.д.

Если функции y = f(x) и y = g(x) n раз дифференцируемы в точке x, то функции f + g и f ¢ g также n раз дифференцируемы в точке x и справедливы формулы:

69

Рассмотрим примеры нахождения производных высших по-

y00 = (y0)0 = (e¡x(2x ¡ x2))0 = (2 ¡ 2x)e¡x + (2x ¡ x2)e¡x(¡1) = = e¡x(2 ¡ 2x ¡ 2x + x2) = e¡x(2 ¡ 4x + x2):

70

+C302 f(28)(x) ¢ g00(x) + 0 = ex ¢ x2 + C301 ex ¢ 2x + C302 ex ¢ 2 =

=ex(x2 + 30x + 435):

4.8.Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, в которой она имеет производную, и достигает в этой точке наибольшего (или наименьшего) значения. Тогда f0(x0) = 0.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x) определена и непрерывна в отрезке [a; b], имеет производные в каждой

точке интервала (a; b) и, кроме того, выполняется равенство f(a) = f(b), то существет точка c 2 (a; b) такая, что f0(c) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в отрезке [a; b], имеет производные в каждой точ-

ке интервала (a; b). Тогда существет точка c 2 (a; b) такая, что

f(b) ¡ f(a). b ¡ a

Если в теореме Лагранжа положить a = x0; b = x (т.е. рассмотреть функцию y = f(x) на отрезке с концами x и x0), то получим, что существет точка c 2 (x0; x) такая, что

зывают формулой конечных приращений.

4.9. Приложение производной к вычислению приближенных значений функций. Формула Тейлора

Теорема 4.1. Пусть y = f(x) определена в некоторой окрестности точки a и имеет в этой окрестности все производные до n + 1 порядка включительно, тогда существует такая точка c строго между a и x (x принадлежит окрестности точки a), что справедлива формула

71

Формулу (4.10) называют формулой Тейлора n -го порядка с центром в точке a и остаточным членом rn(x) в форме Лагранжа.

Если в формуле (4.10) положить a = 0, то получим формулу ТейлораМаклорена:

f(n+1)(c)

где rn(x) = (n + 1)! xn+1; c точка - строго между 0 и x (4:11):

Приведем ниже разложения по формуле (4.11) некоторых основных функций.

при этом абсолютная ошибка, получаемая при замене значения

72

Пример 4.16. Найдите приближенно e0;2, пользуясь формулой Тейлора - Маклорена третьего порядка, и оцените погрешность приближенного вычисления (значения остаточной функции).

Решение

Так как

ex = 1 + x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + r3(x);

то

e0;2 ¼ 1 + 0; 2 + 2!1 (0; 2)2 + 3!1 (0; 2)3 ¼ 1; 2213;

причем

jr3(0; 2)j · 4!3 (0; 2)4 < 10¡3; т.е. e0;2 = 1; 2213 § 10¡3:

4.10. Приложение производной к вычислению пределов: правило Лопиталя

Теорема 4.2. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и являются одновременно или бесконечно большими, или бесконечно малыми в этой

f0(x)

точке, и существует предел lim 0 = c.

x!a g (x)

73