3.С помощью производной первого порядка исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
4.С помощью производной второго порядка исследуем функцию на выпуклость. Находим ее точки перегиба (если они существуют).
5.Находим точки пересечения графика функции с осями координат. Находим значения функции в точках экстремума (если таковые имеются). Можно также найти значения функции в некоторых произвольных точках ее области определения, отличных от точек экстремума.
6.Учитывая полученные результаты исследования, строим график функции.
Задачи
5.1. Определите промежутки монотонности функции.
1.y = x2 + 6x + 9 . x ¡ 1
Ответ: возрастает на промежутках (¡1; ¡3) и (5; +1) и убывает на промежутках (¡3; 1) и (1; 5).
2. y = ln(x2 ¡ 2x ¡ 3) .
Ответ: возрастает в интервале (3; +1) и убывает в интервале (¡1; ¡1).
3. y = 3x4 ¡ 8x3 + 6x2 .
Ответ: убывает на промежутке (¡1); 0), возрастает на промежутке (¡1; ¡1).
5.2.Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции.
1. y = x3 ¡ 6x2 + 9x ¡ 4.
Ответ: x = 1 точка локального максимума, x = 3 точка локального минимума.
86
2. y = x(x ¡ 1)2(x ¡ 2)3.
|
p |
|
|
|
p |
|
|
Ответ: x = |
5¡6 |
13 |
; |
x = |
5+ |
13 |
точки локального мини- |
6 |
|
мума, x = 1 точка локального максимума.
3. y = x + x1 .
Ответ: x = ¡1 точка локального максимума, x = 1 точка локального минимума.
5.3. Определите промежутки выпуклости функции.
1: y = x4 ¡ 8x2 + 3; 2: y = x3 ¡ 6x2 + 9x ¡ 4; |
|
||||||
3: y = x + |
1 |
|
; |
4: y = x + sin x; |
|
||
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|||
5: y = x ln x; |
|
6: y = x ¡ 2 sin2 x; |
|
||||
7: y = e¡ |
x2 |
; |
|
8: y = (x2 + 2)e¡x2 |
: |
||
4 |
|
||||||
5.4. Найдите асимптоты функции.
1 |
|
x2 + 2 |
|
x3 |
||
1. y = x + |
|
2. y = |
|
3. y = |
|
|
x |
3x + 1 |
x2 ¡ 4 |
||||
5.5. Исследуйте функцию и постройте ее график.
2 |
|
3 |
|
|
1 |
3 |
2 |
|||
1: y = |
|
|
x |
|
¡ 2x + 1; |
2: y = |
|
x ¡ 2x + 3; |
||
3 |
|
3 |
||||||||
3: y = |
|
x |
|
; |
4: y = x ln x; |
|
||||
|
|
|||||||||
x2 + 1 |
|
|||||||||
5: y = x4 ¡ 8x2 + 3; |
6: y = |
|
1 |
; |
||||||
|
||||||||||
x2 ¡ 1 |
||||||||||
87
|
7: y = x + |
1 |
; |
|
8: y = x + sin x; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
9: y = e¡ |
x2 |
; |
|
|
10: y = |
|
x2 |
; |
|
||||
4 |
|
|
||||||||||||
|
|
x + 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11: y = |
x2 + 1 |
; |
|
12: y = (x2 + 2)e¡x2 : |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
5.6. Найдите наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||||||||
y = x3 ¡ 3x2 + 3x на отрезке [¡1; 2]. |
|
|
|
|
||||||||||
5.7. Найдите наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||||||||
y = x ln x на отрезке [1; e]: |
|
|
|
|
|
|||||||||
5.8. Найдите наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||||||||
y = |
1 ¡ x + x2 |
на отрезке [0; 1]: |
|
|
|
|
||||||||
|
1 + x ¡ x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.9. Найдите число x > 0, чтобы разность x ¡x2 была наибольшей.
5.10. Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает наименьшее значение.
5.11. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Каковы должны быть размеры этого окна, чтобы при данном его периметре 2p оно пропускало наибольшее количество света. (Ответ: 4+4p¼ ; p2 ¢ 6+4+¼¼ )
5.12. Нужно изготовить коническую воронку с образующей l.
Какова должна быть высота H воронки, чтобы ее объем
p
был наибольшим? (Ответ: H = 33 l )
5.13.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 cm3, причем стороны основания относи-
88