Тема 2. Функция, свойства функций

2.1.Определение функции

Впрактических задачах часто изменение одной переменной величины тесно связано с изменением одной или нескольких других переменных величин (путь, пройденный телом с постоянной скоростью, и время, затраченное на этот путь; площадь прямоугольного участка и длины его сторон).

Если каждому значению, которое может принимать переменная величина x, по некоторому правилу поставить в соответствие единственное значение переменной y, то говорят, что y есть функция от x, ее обозначают f : x ! y = f(x), или y = f(x), или просто f.

Величину x называют независимой переменной или аргументом функции f, а y значением функции f в точке x.

Совокупность всех значений аргумента функции f называют

областью определения функции f и обозначают D(f). Совокупность значений функции f при всех значениях аргу-

мента x 2 D(f) называют областью значений функции f и обозначают E(f).

Функцию принято называть отображением одного множества (множество значений аргумента x) в другое (множество

21

значений переменной y). Если некоторая величина y есть значение функции f в точке x, т.е. y = f(x), то y называют образом x при отображении f, а x прообразом y при отображении f. В силу определения функции одной независимой переменной образ у каждого аргумента при заданном отображении может быть только один, однако произвольный y из области значений функции может иметь и более одного прообраза.

2.2. Способы задания функции

Функцию можно задать с помощью формулы, таблицы или графика.

Способ задания функции с помощью формулы y = f(x), где f(x) есть какое-либо выражение от переменной величины x (на-

пример, f(x) = x2; f(x) = sin x; f(x) = px; f(x) = x1 ) называется аналитическим.

Областью определения такой функции является совокупность всех x, при которых имеет смысл выражение f(x). Часто встречаются случаи, когда функция задается не одной, а несколькими формулами. Например,

(

x2; если x ¸ 0; ¡x2; если x < 0.

Способ задания функции с помощью таблицы называется табличным. Используется в эспериментальных и статистических наблюдениях.

Способ задания функции с помощью графика называется

графическим.

Графиком функции f называется множество всех точек плоскости XOY с координатами (x; y), что x 2 D(f), а y = f(x).

Пример 2.1. Определите cколько прообразов имеет y = 1

(соответственно, y = 0; y = 2; y = ¡1) при отображении f(x) = x2.

Решение

22

Чтобы найти прообразы при заданном отображении необходимо решить уравнение y = f(x) относительно x. Сколько решений имеет это уравнение столько и прообразов имеет y. В нашем примере нужно решить уравнение y = x2, где y = 1; y = 0; y = 2; y = ¡1.

Итак, уравнение x2 = 1 имеет два решения x = 1 и x = ¡1, следовательно, элемент y = 1 при отображении f(x) = x2 имеет два прообраза 1 и 1 .

Уравнение x2 = 0 имеет одно решение x = 0, следовательно, элемент y = 0 при отображении f(x) = x2 имеет один прообраз

0. Уравнение x2 = 2 имеет два решения x = p2 и x = ¡p2, следовательно, элемент y = 2 при отображении f(x) = x2 имеет два прообраза p2 и ¡p2.

Уравнение x2 = ¡1 не имеет решений, следовательно, элемент y = ¡1 не имеет прообразов при отображении f(x) = x2.

2.3. Арифметические действия над функциями

Пусть даны две функции f : x ! y = f(x) и g : x ! y = g(x). Суммой этих функций называется функция h, определенная на множестве D(f)\D(g), значение которой в точке x находится по формуле f(x) + g(x). Таким образом, h : x ! h(x) = f(x) + g(x).

Аналогично определяются разность, произведение и частное функций. Сумму, разность, произведение и частное функций называют арифметическими действиями над функциями.

2.4. Композиция функций

Пусть y зависит от переменной u, а u зависит от переменной x, т.е. имеем y = f(u), а u = g(x), тогда y является функцией от x, при этом y называют сложной функцией, или композицией функций g и f и обозначают f ± g, т.е. f ± g(x) = f(g(x)). Аналогично определяют композицию функций f и g, обозначаемую g ± f, где g ± f(x) = g(f(x)). Области

23

Пример 2.4. Составьте различные композиции из трех функций y = f(x); y = g(x); y = h(x), если f(x) = 1 + x;

g(x) = x12 ; h(x) = 2x.

Решение

Составим композицию f ± g ± h, тогда

2.5. Свойства функций

Монотонность

Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно, строго возрастающей, убывающей, строго убываю-

f(x1) < f(x2), f(x1) ¸ f(x2), f(x1) > f(x2)).

Возрастающие, убывающие (строго возрастающие, строго убывающие) функции объединяют под названием монотонных (строго монотонных) функций.

25

Пример 2.5. Докажите, что функция f(x) = x + 1 является строго возрастающей, а функция f(x) = 1 ¡ x строго убывающей.

Решение

Докажем, что функция f(x) = x + 1 является строго возрастающей.

Пусть x1; x2 2 D(f) = R выбраны произвольно, и x1 < x2, тогда f(x1) = x1 + 1; f(x2) = x2 + 1 и т.к. x1 < x2, то

f(x1) = x1 + 1 < x2 + 1 = f(x2):

f(x) = 1 ¡ x на всей области определения. Проведите доказательство самостоятельно.

Пример 2.6. Выясните, является ли монотонной функция f(x) = x2 на своей области определения. Можно ли изменить область определения этой функции так, чтобы она стала монотонной?

Решение

Пусть x1; x2 2 D(f) = R выбраны произвольно, и x1 < x2, тогда f(x1) = x12; f(x2) = x22, но f(x1) = x12 < x22 = = f(x2) только при условии, 0 · x1 < x2. Если же x1 < x2 · 0, то f(x1) = x12 > x22 = f(x2) и, следовательно, не для всех

x1; x2 2 D(f); x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) < f(x2) и, значит, заданная функция не является строго возрастающей

на всей области определения. Аналогично, она не является и строго убывающей на всей области определения (неравенство

f(x1) > f(x2) выполнено не для всех x1; x2 2 D(f); x1 < x2). Итак, мы доказали, что функция f(x) = x2 не является моно-

тонной на своей области определения. Однако если изменить область определения, например, сузить ее до множества [0; +1) (соответственно, (¡1; 0]), то функция станет строго возрастающей (соответственно, строго убывающей). Промежутки [0; +1) и

26

(¡1; 0] называются промежутками монотонности (строгой монотонности) функции f.

Ограниченность

Функция y = f(x); x 2 D(f) называется ограниченной снизу (соответственно, ограниченной сверху, ограниченной), если множество ее значений E(f) ограничено снизу (соответственно, ограничено сверху, ограничено), т.е. существует число m такое, что m · f(x) при всех x 2 D(f) (соответственно, существует число M такое, что f(x) · M при всех x 2 D(f); существуют числа m; M такие, что m · f(x) · M при всех x 2 D(f)).

Пример 2.7. Выясните, являются ли функции

ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

Решение

а) f(x) = 5 cos 3x + 2 sin 3x.

Так как ¡1 · cos 3x · 1 и ¡1 · sin 3x · 1 при всех x 2 D(f) = R, то ¡7 · 5 cos 3x + 2 sin 3x · 7 при всех x 2 R и, значит, данная функция ограничена.

б) f(x) = x2 + x12 ; D(f) = R n f0g:

Заметим, что f(x) > 0 при всех x 2 D(f), следовательно, данная функция ограничена снизу. Докажем теперь, что она неограничена сверху. Допустим противное, пусть данная функция ограничена сверху, т.е. существует число M такое, что

имеем M + 1 + M + 1 > M, то есть неравенство t + t · M спра-

ведливо не при всех t > 0. Значит, наше предположение неверно, заданная функция неограничена сверху.

27

Обратимость

Пусть функция y = f(x) такова, что каждое ее значение y 2 E(f) имеет один единственный прообраз в D(f), его обозначают f¡1(y). Тогда уравнение y = f(x) для каждого y 2 E(f) имеет единственное решение x = f¡1(y) в D(f), при этом говорят, что функция y = f(x) имеет обратную функцию x = f¡1(y), определенную на множестве E(f). Здесь y является независимой переменной, а x зависимой. Всякая функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Обратную к y = f(x) функцию можно записать как функцию переменной x: y = f¡1(x). Функции y = f(x) и y =

f¡1(x) называют взаимно обратными, для них справедливы равенства f¡1(f(x)) = x при всех x 2 D(f) и f(f¡1(x)) = x

при всех x 2 D(f¡1) = E(f). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

Справедливо следующее утверждение:

Всякая строго возрастающая (сответственно, строго убывающая) на области определения функция имеет обратную, которая является также строго возрастающей (сответственно, строго убывающей).

Пример 2.8. Для функции y = 2x ¡ 1 найдите обратную, если таковая существует.

Решение

Решим уравнение y = 2x ¡ 1 относительно переменной x,

ная функция является обратимой, и обратной для нее является

функция x = 12(y + 1). Запишем ее как функцию переменной x:

y = 1(x+1). Функции y = 2x¡1 и y = 1(x+1) взаимно обратны.

2 p 2

Пример 2.9. Для функции y = x найдите обратную, если таковая существует.

Решение p

Решим уравнение y = x относительно переменной x; x ¸ 0,

28

откуда x = y2; y ¸ 0. Не трудно заметить, что для каждого y уравнение имеет единстенное решение, следовательно, данная функция является обратимой, и обратной для нее является

функция x = y2; y ¸ 0p. Запишем ее как функцию переменной x: y = x2. Функции y = x и y = x2 взаимно обратны при x ¸ 0.

Пример 2.10. Для функции y = x2 ¡ x ¡ 6; x 2 [1; +1), найдите обратную, если последняя существует.

Решение

Найдем решения уравнения x2 ¡ x ¡ 6 = y относительно x в

2.6. Элементарные функции

Перечислим, так называемые, простейшие элементарные функции. К ним относятся:

1. Постоянная: y = c; c 2 R; D(f) = R

29

2.Тождественная: y = x; D(f) = R; E(f) = R

3.Степенная: y = x®; ® 2 R; D(f) = (0; +1); E(f) = (0; +1).

Степенную функцию можно доопределять и при x · 0, это зависит от значения числа ®.

4.Показательная: y = ax; a > 0; a 6= 1; D(f) = R; E(f) = (0; +1).

5.Логарифмическая: y = loga x; a > 0; a 6= 1; D(f) = (0; +1); E(f) = R:

6.Тригонометрические:

Функцию y = f(x) называют элементарной, если она составлена из простейших элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа ком-

30