Тема 1. Множества, числовые множества, операции над множествами, ограниченные множества

Множество это совокупность объектов, объединенных по некоторому признаку и называемых элементами данного множества.

Множество элементов обозначают заглавными буквами A; B; C и т.д., а его элементы прописными a; b; x и т.п.

Тот факт, что некоторый элемент a принадлежит множеству A, или является элементом множества A, записывают в виде a 2 A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ;.

значают множество таких элементов x 2 X, для которых P (x)истинно.

Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Для некоторых числовых множеств вводят специальные обозначения.

Например, N = f1; 2 ; :::; n; :::g множество всех натуральных чисел;

Z = f:::; ¡n; :::; ¡1; 0 1; 2; :::; n; :::g множество всех

целых чисел;

Q = nmn j m 2 Z; n 2 No множество рациональных чисел. m

Числа, представимые в виде дроби n , где m целое число, а

n натуральное, называют также обыкновенными дробями. Таким образом, рациональные числа это числа, представимые в виде обыкновенной дроби. Числа, не представимые в виде обыкновенной дроби называют иррациональными, множество всех таких чисел обозначают I.

Совокупность рациональных и иррациональных чисел обра-

4

зуют множество действительных чисел, которое обозначают

R.

Множество A назвают подмножеством, или частью множества B, если все элементы множества A принадлежат множеству B , при этом пишут A ½ B.

Множества A и B называют равными, если A ½ B и B ½ A, при этом пишут A = B.

Можно заметить справедливость следующих включений

N ½ Z ½ Q.

Объединением множеств A и B называется множество C, обозначаемое A [ B, и состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит или множеству A или множеству B, т.е.

A [ B = fxj x 2 A или x 2 Bg:

Пересечением множеств A и B называется множество C, обозначаемое A \ B, и состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству A и множеству B, т.е.

A \ B = fxj x 2 A и x 2 Bg:

Разностью множеств A и B называется множество C, обозначаемое A n B, и состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B, т.е.

A n B = fxj x 2 A и x 2= Bg:

Объединение, пересечение и разность множеств называют операциями над множествами.

Учитывая сказанное выше, заметим, что Q\I = ;; Q[I = R. Пусть a; b 2 R; a < b. Числовым промежутком с концами a и b называют множество всех действительных чисел, заклю-

ченных между числами a и b. Промежуток обозначают символом ha; bi.

В зависимости от того, принадлежат ли концы промежутка самому промежутку, различают несколько типов промежутков:

5

1) отрезок (обозначают [a; b]) оба конца принадлежат промежутку ha; bi, т.е.

[a; b] = fx 2 Rj a · x · bg

2) интервал (обозначают (a; b)) оба конца не принадлежат промежутку ha; bi, т.е.

(a; b) = fx 2 Rj a < x < bg

3) полуинтервалы (обозначают [a; b) или (a; b]) один из концов не принадлежит промежутку ha; bi, т.е.

[a; b) = fx 2 Rj a · x < bg; (a; b] = fx 2 Rj a < x · bg

Различают также несколько типов полубесконечных промежутков. Пусть a 2 R. Полубесконечным промежутком называют множество всех действительных чисел меньших (соответственно, меньше либо равных, больших, больше либо равных) числа a, его обозначают (¡1; a) (соответственно,

(¡1; a]; (a; +1); [a; +1)), т.е.

(¡1; a) = fx 2 Rj x < ag; (¡1; a] = fx 2 Rj x · ag; (a; +1) = fx 2 Rj x > ag; [a; +1) = fx 2 Rj x ¸ ag:

Множество A называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу), если существует число c 2 R такое , что c > a(соответственно, c < a ) при всех a 2 A. Если множество ограничено и сверху и снизу, то его называют ограниченным. Например, любой отрезок является ограниченным множеством.

Можно доказать, что множество всех натуральных чисел N неограничено сверху, т.е. каково бы ни было число x 2 R, найдется натуральное число n такое, что n > x.

Пример 1.1. Выясните, является ли множество A =

½ ¾

n1 j n 2 N ограниченным снизу, ограниченным сверху, ограниченным.

6

Решение

Заметим, что все элементы множества A есть положительные числа, следовательно, число 0 ограничивает наше множе-

Решение

Множество A состоит из всех действительных чисел, квадрат которых больше единицы, т.е. чисел, принадлежащих объедине-

Очевидно, невозможно указать число, большее всех элементов множества A, и число, меньшее всех элементов множества A, следовательно, A является неограниченным ни сверху, ни снизу.

Элемент a0 называют наибольшим (соответственно, наименьшим) элементом множества A, если a0 2 A и a0 ¸ a (соответственно, a0 · a) при всех a 2 A. Заметим, что множество может не иметь наибольшего (соответственно, наименьшего) элемента. Если такой элемент у множества существует, то его обозначают maxA (соответственно, minA). Например, множество A, рассматриваемое в примере 1.1, имеет наибольший элемент, но не имеет наименьшего элемента, а множество в примере 1.2 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элементов.

Пример 1.3. Найдите элементы числовых множеств A и B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; если

A = fx 2 [¡¼=2; ¼=2] j tg 3x > 1g ;

B = ©x 2 R j jxj < (x + 1)2ª:

7

Выясните являются ли множества A и B ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными; найдите наименьший и наибольший элементы этих множеств (в случае их существования).

Решение

Для того, чтобы найти элементы указанных множеств, необходимо воспользоваться определениями объединения, пересечения и разности двух множеств. Но прежде необходимо понять из каких элементов состоят данные множества. Для этого нам потребуется решить либо квадратное, либо дробно-рациональное, либо тригонометрическое неравенства.

Как решить квадратное неравенство?

1.Найти корни квадратного трехчлена (например, через дискриминант).

2.Изобразить корни квадратного трехчлена на числовой прямой, эти корни (если их два различных) разбивают числовую прямую на три промежутка.

3.Определить знак квадратного трехчлена на каждом промежутке.

Как решить дробно-рациональное неравенство?

1.Разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

2.Применить метод интервалов: найти корни сомножителей числителя и знаменателя; изобразить их в порядке возрастания на числовой прямой; определить знак дробно-рационального выражения на каждом промежутке.

Как решить тригонометрическое неравенство?

Воспользоваться графиком соответствующей тригонометрической функции или тригонометрическим кругом.

Пусть a 2 (¡1; 1), т.е. jaj < 1.

Тогда решением неравенства cos x ¸ a будет совокупность промежутков вида [¡ arccos a + 2¼n; arccos a + 2¼n]; n 2 Z

(рис. 1).

8

Напомним, что арккосинусом числа a, jaj · 1, называется такое число b из промежутка [0; ¼], что cos b = a.

Решением неравенства cos x · a будет совокупность промежутков вида [arccos a + 2¼n; 2¼ ¡ arccos a + 2¼n]; n 2 Z

(рис. 2).

Решением неравенства sin x ¸ a будет совокупность промежутков вида [arcsin a + 2¼n; ¼ ¡ arcsin a + 2¼n]; n 2 Z (рис. 3).

! и #. 3

Напомним, что арксинусом числа a, jaj · 1, называется такое число b из промежутка [¡¼=2; ¼=2], что sin b = a.

Решением неравенства sin x · a будет совокупность промежутков вида [¡¼ ¡ arcsin a + 2¼n; arcsin a + 2¼n]; n 2 Z (рис.4).

9

! и #. 4

Пусть теперь a - произвольное число.

Решением неравенства tg x ¸ a будет совокупность промежутков вида [arctg a + ¼n; ¼=2 + ¼n); n 2 Z.

Напомним, что арктангенсом числа a называется такое число b из промежутка (¡¼=2; ¼=2), что tg b = a.

Решением неравенства tg x · a будет совокупность промежутков вида (¡¼=2 + ¼n; arctg a + ¼n]; n 2 Z.

Решением неравенства ctg x ¸ a будет совокупность промежутков вида (¼n; arcctg a + ¼n]; n 2 Z.

Напомним, что арккотангенсом числа a называется такое число b из промежутка (0; ¼), что ctg b = a.

Решением неравенства ctg x · a будет совокупность промежутков вида [arcctg a + ¼n; ¼ + ¼n); n 2 Z.

Неравенства вида cos kx ¸ a (соответственно, sin kx ¸ a, tg kx ¸ a, ctg kx ¸ a) решают с помощью замены kx = t, при этом получают неравенство вида cos t ¸ a ( соответственно, sin t ¸ a, tg t ¸ a, ctg t ¸ a), и, следовательно, промежутки для t, затем находят x = t=k:

Итак, найдем элементы данного множества A. Это множество состоит из чисел x отрезка [¡¼=2; ¼=2], для которых выполняется неравенство tg 3x > 1. Найдем все такие числа, т.е. решим неравенство tg 3x > 1 и из всех его решений выберем только те, которые принадлежат отрезку [¡¼=2; ¼=2].

10

По условию x 2 [¡¼=2; ¼=2], тогда найдем такие n 2 Z, для которых одновремено справедливы неравенства

[¡¼=2; ¼=2] будут все значения x, принадлежащие объединению промежутков

Найдем элементы множества B. Это множество состоит из всех чисел x, удовлетворяющих неравенству jxj < (x+1)2. Решим это неравенство. Так как (x + 1)2 ¸ 0 при всех x, то, применяя свойство модуля jxj < c () ¡c < x < c, имеем:

jxj < (x + 1)2 () ¡(x + 1)2 < x < (x + 1)2 ()

Изобразим множества A и B на числовой прямой (рис. 5).

11

! и #. 5

Теперь несложно найти A [ B; A \ B; A n B; B n A :

Множество A ограничено, но оно не обладает ни наименьшим, ни наибольшим элементами. Множество B неограничено.

Пример 1.4. Найдите элементы числовых множеств A и B A [ B; A \ B; A n B; B n A; если

½ ¾

A = x 2 N j 20x 2 N ;

B = ©x 2 N j x2 ¡ 14x + 33 · 0ª:

Выясните являются ли множества A и B ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными; найдите наименьший и наибольший элементы этих множеств (в случае их существования).

12